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表示统计资料的特征数有哪些？ 几何平均数与调和平均数各适合于什么情况？ 计算样本方差与总体方差公式有何区别？ 3.1 表示集中位置的特征数 3.1.1 平均数 定义： 一组n个观测值x1,x2 ,…，xn的算术平均数，定义为 如果资料已经分组，组数为k，用x1,x2 ,…，xk 表示各组中点，f1，f2…,fk 表示相应的频数，那么 表3-1 某校125位大学一年级新生体重表 其平均体重： 在数据为环比类型的问题中，算术平均数是不适用的。例如下表是天津市工业总产值在“十五”期间的逐年增长率，如求该期间平均增长率，算术平均数是不恰当的。几何平均数可以解决这个问题。 表3-2 天津市工业总产值 定义: 一组n个数据的几何平均数定义为 当数据是相对变化率，求平均数时，算术平均数也不恰当。 例如：甲乙两地相距若干公里，某人乘车往返甲乙两地之间，去时速度每小时20公里，回来时速度每小时30公里，若求平均速度，这时用算术平均数是不对的，但调和平均数可解决此类问题。 算术平均数表示了集中位置特征，它照顾到每一个值，但它不见得是出现次数最多的值（甚至也可能不是观测值中的一个）。所以有必要研究表示集中位置的其它的特征数。 定义：对于有频数分布的变量，它的众数指频数最大的变量的值 算术平均数作为集中位置的特征还有一缺点，就是受观测值中极端值的影响很大，而一组观测值中的极端值常常没有代表性。中位数将避免这种影响。 一组n个观测值按数值大小排列，处于中央位置的值称为中位数以 表示， 计算第p百分数 定义 其中xmax和xmin分别为数据中的极大值和极小值。 方差 定义 变异系数C 3.3.1比较众数、中位数和算术平均数的相对位置 下图列举出了对称的、具有左偏态（负偏态）和右偏态（正偏态）的频数分布的例子。注意到它们的特点是： 首先将数据按递增顺序排列，然后很容易就能确定最小值、3个四分位数和最大值了。对12个月薪数据的样本，按照递增顺序排列如下： 2210 2255 2350|2380 2380 2390|2420 2440 2450|2550 2630 2825 Q1＝2365 Q2＝2405 Q3＝2500 上述起薪数据以五数概括为：2210，2365，2405，2500，2825。 盒形图实际上是以图形来概括数据。我们将盒形图延至这一章才讲是因为它的关键是计算中位数和四分位数Q1和Q3。此外还将用到四分位数间距IQR＝Q3－Q1 。 盒形图的画法步骤如下： （1）画一个方盒，其边界恰好是第1和第3四分位数。对于上述的起薪数据， Q1＝2365， Q3＝2500。 这个方盒包含了中间的50％的数据。 （2）在方盒上中位数的位置画一条垂线（对起薪数据，中位数为2405）。因此中位数将数据分为相等的两个部分。 （3）利用四分位数间距IQR=Q3－Q1，来设定界限。盒形图的界限定于低于Q1以下1.5个IQR和高于Q3以上1.5个IQR的位置。上、下限以外的数值作为异常值。 （4）在图3－2中的横线叫做须线（whisker），须线从方盒的边线出发，直至在上、下限之内的最大值和最小值。 （5）最后，任一异常值的位置以符号“＊”标出。 3.5 盒形图 * 第三章　统计资料的综合 * 第三章 统计资料的综合 算术平均数（Arithmetic average） 几何平均数（Geometric Mean） 调和平均数 (1)算术平均数（Arithmetic average） (1)算术平均数（Arithmetic average） 5 65 64—66 12 62 61—63 21 59 58—60 38 56 55—57 25 53 52—54 20 50 49—51 4 47 46—48 人数(f) 组中值(x) 体重（公斤） (1)算术平均数（Arithmetic average） = ＝ ＝55.592 (1)算术平均数（Arithmetic average） 当 时最小 性质 (1)算术平均数（Arithmetic average） (2)几何平均数（Geometric Mean） 20.8 2005 31.0 2004 24.1 2003 19.6 2002 14.0 2001 2000 比上年增长％ 年份 （天津市2005统计年鉴） (2)几何平均数（Geometric Mean） 在上式中， 依次为114.0，119.6，124.1， 十五期间天津市工业总产值年均增长率为21.8%。 131.0，