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系统仿真技术第6章 病态系统仿真 陈无畏 合肥工业大学机械与汽车工程学院 6.1 病态系统的定义 系统中各环节的时间常数差异巨大,为保证仿真 计算的稳定性，由于仿真步长必须限制在最小时间常 数的数量级而选得很小，然而仿真结束的时间则决定 于系统中的最大时间常数，若按满足稳定性要求所选 择的步长进行仿真，则不仅整个仿真所花费的时间非 常长，甚至由于计算的舍入误差而导致整个仿真的失 败。这就是所谓“病态系统仿真”问题。 病态系统的定义（续） 病态系统定义: (6-1) 令 (6-2) J称为系统的雅可比矩阵。 若J的特征值全部具有负实部，且有： 则 该系统称为病态系统，在某些文献中也叫做刚性系统 (Stiff)，而: 称为病态比，一般在50以上。 6.2 线性病态系统仿真 对线性定常系统，我们可用如下状态方程进行一 般性描述： (6-3) 1. 增广矩阵法 将u(t)作为系统的增广状态 线性病态系统仿真(续） 其中: 由于病态系统特征值相差倍数很大，必须用加速收 敛的方法计算该状态转移矩阵的值。 2.蛙跳算法 基本思想： (1)考虑作用函数为阶跃函数，则增广状态十分简单。 选择q，使得： 线性病态系统仿真(续） (2) 仿真计算时采用如下“蛙跳”方式： 线性病态系统仿真(续） 即在qh以前采用加倍跳跃式计算，而在qh以后每隔qh计算一次。 优点是： h可以取得很小（可按最小时间常数考虑），从而保证初始阶段的精度而计算量却不大，而到qh以后，小时间常数的作用完成，则加大步长计算，从而加快仿真计算速度。 从x(h)到x(qh)都是以x(0)为基础进行计算，所以误差传播比较均匀（仅仅是状态转移矩阵的误差）。 6.3 非线性病态系统仿真 一般非线性系统的仿真大多采用数值积分法。而 数值积分法一般又只具有有限的稳定域，典型的如龙 格－库塔法，仿真步长限定在系统最小时间常数的数 量级，才能保证计算的稳定性，而系统的过渡过程时 间却决定于最大时间常数，因而对病态系统来说计算 量极大，加上存在误差传播，仿真的精度甚至稳定性 也会受到影响。 6.3.1 吉尔(Gear)法 6.3.1.1 Stiff稳定域 Gear研究后发现，并不要求一定采用恒稳方法，而 只要具有所谓Stiff稳定域就可以了。 Stiff稳定域定义：对实际的物理系统，时间常数μ 一般小于零。选择仿真步长h若满足： 与 可保证仿真的稳定性，称该算法具有stiff稳定域。 Stiff稳定域（续） 实际上具有Stiff稳定域的方法与 恒稳方法只在近虚轴处有一点差别， 即如果系统中的极点全部为实极点， 那么无论选择多大的步长，计算是恒 稳的。如果系统中有复极点（实部仍 为负数），只要步长的选择满足上述 条件，也能保证算法稳定。 Stiff稳定域（续） Stiff域中θ与δ的确定： 按病态系统的大特征值来选择步长： 该特征值所对应的模态大约要经过4倍左右时间常数的时间才能有效地衰减掉，即 ，也就是 这样，此时即使加大步长h，也能保持计算的稳定性, 基于这一考虑, 可设δ＝- 4。 Stiff稳定域（续） 另一方面，考虑到系统特征值为复数，它所对应的瞬态响应呈振荡型。一个振荡周期内至少计算N个点。最小振荡周期为： 其中h为计算步长，若选择N≥8，则有： ，因此可选θ＝π/4。 综上所述，如果选择某一种方法，其稳定域θ≥π/4 ，且|δ|≤4，则从使用的角度来看，图6.1所示的稳定域与恒稳域没有差别，从而完全可以用于病态系统的仿真。 6.3.1.2吉尔（Gear）法的基本原理 设系统： 满足Stiff稳定域的多步法,Gear提出的用于病态系 统仿真的计算公式是：