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系统模拟 第2讲 授课教师: 左德承 建模的逻辑方法 抽象 归纳 演绎 类比 移植 建模的逻辑方法 抽象 揭示事物的共性和联系的规律，忽略每个具体事物的特殊性，着眼于整体和一般规律 例子 四条腿的凳子只需原地旋转就能四只脚着地、放稳 建模的逻辑方法 关键是用数学语言把四只脚同时着地的条件和结论表示出来 椅子的位置和调整的表述 椅子脚连线成正方形，以中心点对称，正方形围绕圆心旋转表示了椅子位置的改变 假设椅子位置调整中只是旋转而没有平移 因此可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置 建模的逻辑方法 建模的逻辑方法 脚着地的数学表示 用变量表示椅脚与地面的距离 变量为零时，四脚着地 需引入四个变量 化简 正方形中心对称，只需计算两个距离即可 A、C与地面的距离之和为 B、D与地面的距离之和为 建模的逻辑方法 三脚着地和四脚着地的描述 椅子在任何位置至少有三只脚着地 即任意 至少有一个为零 因此恒有 当?＝0时，不妨设g(?)=0，f(?)0，若四条腿一样长，旋转90度后，只是两个对角线互换，因此当?＝π/2时，f(?)=0，g(?)0 在?＝?0时，四脚着地，即f(?0)=g(?0)＝0 建模的逻辑方法 模型假设 四条腿一样长 地面高度连续变化 对腿脚和椅腿的长度来说，地面相对平坦，椅子在任何位置至少有三条腿同时着地 建模的逻辑方法 模型构成 令f(?)为A、C与地面距离之和，g(?)为B、D与地面距离之和 f(?)和g(?)是?的连续函数 模型表述如下 建模的逻辑方法 模型求解 建模的逻辑方法 归纳 从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式 开普勒从第谷数据中，归纳出行星运行的三个定律 行星椭圆轨道，太阳位于其中一个焦点上 单位时间内，太阳－行星扫过的面积是一个常数（对一颗行星而言） 行星运行周期T的平方与其椭圆轨道的长半轴a的三次方成正比 建模的逻辑方法 建模的逻辑方法 演绎 由一般性的命题推出特殊命题的推理方法 特殊情况明晰化 有助于科学的理论化和体系化 牛顿利用微积分工具在开普勒三定律和牛顿第二定律的基础上，演绎出万有引力定律 建模的逻辑方法 类比 在两个完全不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式 建模的逻辑方法 移植 一个领域的理论或行之有效的研究方法、研究手段移用到其它领域去 把问题的关键与已有的理论和原理联系起来，与既存事实联系起来，从而构成一个新的模型或挖掘其本质的概念与思想 建模的逻辑方法 计算圆周率π的浦丰投针模型是运用移植法的一个例子 几何概率和大数定理 问题描述 在平面上等距当地画一些平行线，相邻两条线的距离为a，向此平面任投一长度为l(la)的针 用x表示针的中点到最近的一条平行线的距离，φ表示针与平行线的交角 建模的逻辑方法 建模的逻辑方法 针与线相交的条件是 建模的逻辑方法 此针与任何一条平行线相交的概率为： 例子 N个盒子m个球的方法总数问题 （麦克斯韦尔－玻耳兹曼模型），球可分辨，每个盒子放球的数目无限制，方法总数为： 例子 （波司－爱因斯坦分布）球不可分辨，每个盒子容纳的球数没有限制，方法总数 例子 费米－狄拉克模型，球不可分辨，每个盒子至多装一个球，方法总数为 概率论基础 相对频率定义 执行一个经验若干次，每一次叫一个考验。在一个考验中，观察事件A是否发生 事件A的概率P(A)定义 概率论基础 条件概率 在某种事件条件下的概率 条件的影响是删除样本空间的一些结果 假定事件B已经发生，事件A的条件概率P(A|B)定义为 概率论基础 乘法定理 设P(A) 0，有条件概率定义有 设A1,A2,…,An为n个事件，且P(A1A2…An-1)0，有 概率论基础 全概率公式：给定一组互斥事件E1, E2, ? , En，这些事件的并覆盖所有可能结果，一个任意事件A的总概率为 概率论基础 贝叶斯（Bayes）公式 概率论基础 例 传输一组0和1的信号 S0和S1分别是在给定时间一个0和一个1被传送的事件 R0和R1分别是在给定时间一个0和一个1被接收的事件 传输源的概率，P(S1)＝p，P(S0)＝1 – p P(R0|S1) = pa和P(R1|S0) = pb 给定一个0被收到而一个1被发送的条件概率？ 概率论基础 使用贝叶斯公式有： 概率论基础 随机变量是一个试验所有可能输出事件集合(样本空间?)向实数的一个映射 随机变量映射输出事件到实数是给事件一个数值解释 一个试验连同许多可能结果，一个随机变量对每一个结果分配一个值 概率论基础 连续的随机变量X：分布函数F(x)和密度函数f(x) 分