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线代§对称矩阵的对角化
§4 对称矩阵的对角化 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 三、小结 思考题 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 1、定理5 对称矩阵的特征值为实数. 说明：本节所提到的对称矩阵，均指实对称矩阵． 2、定理6 4、定理7 3、 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为： 解 例1 设实对称矩阵 求正交矩阵 P，使 为对角阵. 得基础解系 得基础解系 单位化，得 单位化，得 得基础解系 单位化，得 解 例2 设实对称矩阵 求正交矩阵 P，使 为对角阵. 单位化，得 单位化，得 正交化，得 于是得正交阵 例3 1. 对称矩阵的性质： (1) 特征值为实数； (2) 属于不同特征值的特征向量正交； (3) 必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且 对角矩阵对角元素即为特征值． (4) 特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等； 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值； (2)找特征向量； (3)将特征向量正交化； (4)最后单位化．
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