线性代数一行列式.pptVIP

* * §1.3 行列式的性质 n阶行列式共有n!项? 因此定义计算n阶行列式是较为困难的? 只有少数行列式用定义计算比较方便? 我们已经知道三角行列式的值就是主对角线上各元素的乘积? 因此我们想到能否把一般的行列式化成三角行列式来计算? 这就需要研究行列式的性质? 行列式的转置 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式? 记为DT或D?? 即如果 显然? 若D?|aij|? DT?|bij|? 则bij?aji(i? j?1? 2? ??? ? n)? 行列式的转置 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式? 记为DT或D?? 性质1 将行列式转置? 行列式的值不变? 即D?DT? 证? 记D?|aij|? DT?|bij|? 则bij?aji (i? j?1? 2? ???? n)? 按定义及定理1?3? DT的一般项为 这也是D的一般项? 所以D?DT? 性质2 互换行列式的两行(列)? 行列式的值变号? 记D?|aij|? 交换D的第s行与第t(s?t)行得到的行列式为D1?|bij|? 则bsj?atj ? btj?asj(j?1? 2? ???? n)? D1的一般项为 证? 它与D的一般项相差一个负号? 所以D1??D? 推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同? 则此行列式的值为零? 这是因为? 将行列式D中具有相同元素的两行互换后所得的行列式仍为D? 但由性质2可知其结果应为?D? 因此D??D? 所以D?0? 性质2 互换行列式的两行(列)? 行列式的值变号? 性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)? 等于以数k乘此行列式? 即如果设D?|aij|? 则 推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同? 则此行列式的值为零? 性质2 互换行列式的两行(列)? 行列式的值变号? 这是因为D1的一般项为 上面等号右端方括号内是D的一般项? 所以D1?kD? 推论1 如果行列式某行(列)的所有元素有公因子? 则公因子可以提到行列式外面? 性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)? 等于以数k乘此行列式? 推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同? 则此行列式的值为零? 性质2 互换行列式的两行(列)? 行列式的值变号? 因为由推论1? 可将行列式中这两行(列)的比例系数提到行列式外面? 则余下的行列式有两行(列)对应元素相同? 由性质2可知此行列式的值等于零? 所以原行列式的值等于零? 推论2 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例? 则此行列式的值为零? 性质4 如果行列式中的某一行(列)的每一个元素都是两个数的和? 则此行列式可以写成两个行列式的和? 例如 这是因为 推论 如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数的和? 则此行列式可以写成m个行列式的和? 性质4 如果行列式中的某一行(列)的每一个元素都是两个数的和? 则此行列式可以写成两个行列式的和? 例如 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上? 行列式的值不变? 例如 因为第一行与第二行对应元素成比例? 根据性质3的推论2? 得 解? 反对称行列式 反对称行列式为下列形式的行列式?