线性代数三矩阵的初等变换与线性方程组——习题课.pptVIP

线　性　代　数 第三章　矩阵的初等变换与线性方程组 １　初等变换的定义 ２　矩阵的等价 ３　初等矩阵 ４　行阶梯形矩阵 ５　行最简形矩阵 ６　矩阵的标准形 ７　矩阵的秩 ８　矩阵秩的性质及定理 ９　线性方程组有解判别定理 10　线性方程组的解法 11　初等矩阵与初等变换的关系 典　型　例　题 一、求矩阵的秩 二、求解线性方程组 三、求逆矩阵的初等变换法 四、解矩阵方程的初等变换法 第三章　　测试题 测试题答案 　　由此可知　　　　　　　，而方程组(1)中未知 量的个数是　　，故有一个自由未知量. 例３ 　当　取何值时，下述齐次线性方程组有非 零解，并且求出它的通解． 解法一　系数矩阵　的行列式为 从而得到方 程组的通解 解法二　用初等行变换把系数矩阵　化为阶梯形 例４　求下述矩阵的逆矩阵． 解 　　注意　用初等行变换求逆矩阵时，必须始终 用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用 初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其 间不能作任何行变换． 或者 * * 换法变换 倍法变换 消法变换 逆变换 初等变换 　　三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换． 反身性 传递性 对称性 三种初等变换对应着三种初等矩阵． 　　由单位矩阵　经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵． 　　（１）换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵　　　． 　　（２）倍法变换：以数　（非零）乘某行（ 列），得初等矩阵　　　． 　　（３）消法变换：以数　乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵　　　　． 　　经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元． 例如 　　经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0． 例如 　　对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0． 例如 　　所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类，标准形　是这个等价类中形状最简单的 矩阵． 定义 定义 定理 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数． 定理 定理 　　齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解． 　　非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解． 定理 定理 推论 一、求矩阵的秩 二、求解线性方程组 三、求逆矩阵的初等变换法 四、解矩阵方程的初等变换法 求矩阵的秩有下列基本方法 　　（１）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的 子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一 个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩． 　　（２）用初等变换．即用矩阵的初等行（或 列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶 梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而 初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩 阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩． 　　第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计 算量很大，第二种方法则较为简单实用． 例１　求下列矩阵的秩 解　对　 施行初等行变换化为阶梯形矩阵 　　注意　在求矩阵的秩时，初等行、列变换可 以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形． 　　当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解． 　　当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换 法和克莱姆法则． 例２　求非齐次线性方程组的通解． 解　对方程组的增广矩阵 　进行初等行变换，使 其成为行最简单形．