线性代数次型与对称矩阵的有定性.pptVIP

* 例1 考虑二次型 有 称此二次型是正定二次型. 相应的矩阵 为正定矩阵. 例 2 考虑二次型 §4.3 二次型与对称矩阵的有定性 有 称此二次型是半正定二次型. 相应的矩阵 称为半正定矩阵. 例3 二次型 有 称此二次型是负定二次型. 相应的矩阵 为负定矩阵. 例4 考虑二次型 有 称此二次型是半负定二次型. 相应的矩阵 称为半负定矩阵. 定义4.4 对于具有对称矩阵 A 的二次型 如果对任何 都有 则称二次型 如果对任何 都有 则称二次型 是负定二次型. A称为正定矩阵 A称为负定矩阵 是正定二次型. 定义4.4 对于具有对称矩阵 A 的二次型 如果对任何 都有 则称二次型 如果对任何 则称二次型 是半负定二次型. A称为半正定矩阵 A称为半负定矩阵 都有 且存在 且存在 使 使 是半正定二次型. 二次型 是正定的 有 有 二次型 是半正定的 有 且 使 有 且 使 例 二次型 不是 正定的; (半) (半) 也不是 负定的. 此时 称为不定的. 二次型 是负定的 二次型 是半负定的 例 二次型 对任何 故二次型 为正定二次型 故单位矩阵En 为正定矩阵. 设d1 ,d2 ,…,dn均大于0, 事实上,对任何 故二次型 为正定二次型 故当d1 ,d2 ,…,dn 均大于0时, 为正定二次型 为正定矩阵. 例 二次型 对任何 故此二次型为半负定二次型. 例 二次型 是不定的. 定理4.7对角矩阵 为正定矩阵 证 充分性已证. 必要性: 设D是正定矩阵, 则 定理 4.6 设A～B － 如果A正定, 证由A B 知 ～ 由于C可逆， 方程组 只有零解. A正定, 所以矩阵B正定. 则B也正定. C可逆。 要证 只须证 是否正定呢? 矩阵为正定矩阵的充分必要条件, 准则2 准则4 准则1 A与单位矩阵 E 合同. A的特征值都大于零 准则3 f 的正惯性指标为n 以下给出几个 作为判别准则. 存在 使得 矩阵A为正定矩阵 n 元二次型f 正定 矩阵A为正定矩阵 可逆矩阵C, 如何判断一个矩阵或二次型 准则5 矩阵A为正定矩阵的充分必要 条件是 定义4.5 称为矩阵A的顺序主子式. A的顺序主子式都大于零. (定理4.9) 例 判别下列矩阵或二次型是否正定 ∴A正定 解 二次型对应的矩阵为： ∴该二次型正定 解 二次型对应的矩阵为： ∴二次型不正定 课堂练习 判别二次型是否正定 例 ? 取何值时, 解 二次型对应的矩阵为： 时，二次型正定. 以下二次型为正定 证:∵A是实对称矩阵 A的所有特征值 准则4 矩阵A为正定矩阵 A的特征值都大于零 ∴A ～ A正定 A的所有特征值 ∴存在正交矩阵Q,使得 准则2 矩阵A为正定矩阵 A与单位矩阵E合同. ∵A是实对称矩阵 A的所有特征值 证 充分性:若 则由于 E 正定, 必要性: 设A正定, 则A的特征值都大于0 则PT=P P 与Q都可逆,故 故A正定. ∴存在正交矩阵Q,使得 也可逆， 准则3 n 元二次型f正定 f 的正惯性指标为n 证 设 f = xTAx 其对应的矩阵A正定 存在可逆矩阵C，使得 经过非退化线性替换 二次型化为 f 的正惯性指标为n 二次型 正定