线性变换组及组合系统描述.pptVIP

* * 1.5 线性变换 我们知道，状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变量，则得到的状态空间表达式也不相同。 由于它们都是同一个系统的状态空间描述，它们之间必然存在某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。 1.5.1 等价系统方程 1. 线性定常系统 （1） 为n 维状态向量； 为r 维输入向量； 为m维输出向量； 、 、 、 为相应维数的矩阵。 引入非奇异变换矩阵P 或者 代入方程（1） 其中 于是，系统状态方程变为 （2） 方程（1）与方程（2）互为等价方程 2. 线性时变系统 （3） 引入变换矩阵 或者 对上式求导并代入 可以得到 又由 可以得到 （4） 方程（3）与方程（4）互为等价方程 1.5.2 线性变换的基本性质 1. 线性变换不改变系统的特征值 线性定常系统 系统的特征方程为 等价系统的特征方程为 可见线性变换不改变系统的特征值 2. 线性变换不改变系统的传递函数矩阵 时的传递函数矩阵 可见，经过线性变换，系统的传递函数矩阵不改变 1.5.3 化系数矩阵 A 为标准形 所谓标准形是指：对角形、约当形、模态形 设 是 矩阵 A 的特征值，如果存在一个n 维非零向量 使 或 成立，则称 为 A 的对应于特征值 的特征向量 而 1. 化矩阵 A 为对角阵 若n 个特征值互异，则令 例1-10 将矩阵 化为对角阵 解 解出 变换矩阵 如果矩阵 A 具有这样形式 范德蒙特矩阵 变换矩阵 2. 化矩阵 A 为约当形 如果矩阵 A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,这时不能化为对角阵，只能化为约当形。 确定变换矩阵 可以得到： 变换矩阵为 例1-12 化矩阵 为标准形矩阵 解 得出 求二重特征根对应的特征向量 得到 而由 得到 求特征值 对应的特征向量 得到 因此 设特征值为 当特征值为共轭复数时，可以将矩阵化为模态阵 3. 化矩阵 A 为模态阵 在此情况下， A 的模态形为 设 为对应于 的特征向量，则 令 则 变换矩阵 例1-13 将 化为模态形 解 特征值为 解得 因此