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省精品课程《统计学》 第七章 相关与回归分析 一、相关关系与函数关系 （一）概念 现象间的依存关系大致可以分成两种类型： 一类是函数关系，另一类是相关关系。 相关分析的主要内容： 1、确定现象之间有无相关关系以及相关关系的 具体表现形式； 2、确定相关关系的密切程度 第二节 相关关系的测度 一、相关关系的判断 （一）定性分析 是依据研究者的理论知识、专业知识和实践经验，对客观现象之间是否存在相关关系，以及有何种相关关系做出判断。 （二）利用相关表和相关图 相关表是一种统计表。它是将两个变量的值一一对应的列在同一张表格上形成的统计表。 例： 某财务软件公司在全国有许多代理商，为研究它的财务软件产品的广告投入与销售额的关系，统计人员随机选择10家代理商进行观察，搜集到年广告投入费和月平均销售额的数据，并编制成相关表，见下表。 广告费与月均销售额相关表 （单位:万元） 从相关图可以直观地看出，年广告费投入与月平均销售额之间有线性正相关关系。 二、 相关系数的测定 （一）直线相关系数的计算 1、概念 直线相关系数：在线性相关的条件下说明两个变量之间相关关系密切程度和方向的统计指标。简称相关系数。 用r 表示 （1）相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1 ； （2）当r0时，表示两变量正相关， r0时，两变量为负相关。 　 （4）根据经验判断： |r| 0.3 无直线相关； 0.3 ≤|r|0.5 低度相关； 0.5 ≤|r|0.8 中度相关； 0.8 ≤|r| 高度相关。 （5）两个变量的皮尔逊相关系数低，只表明线性相关程度低，不表明其他相关程度低。 （二）等级相关系数 将两个变量的值按等级次序排列，形成x和y两个序数数列，测其相关程度，这样计算的指标称为等级相关系数。 例：学生毕业论文成绩（优、良、中、及格、不及格）与写作时间（周）之间的相关程度分析 斯皮尔曼等级相关系数rs ——等级差数法 计算步骤： （1）定等级　　 将两变量取值分别按大小顺序确定等级，形成两个序数数列 注意：变量值相等时，等级取平均值 第四节 简单线性回归分析 一、简单线性回归模型 （一）含义 就是对具有显著直线相关的两个变量间数量变化的一般关系进行测定，配合一个直线回归方程，以便于估计或预测的统计方法。 当x与y互为因果时，还可求另一条直线， X对y的直线回归方程： 反映y固定时，x的平均变动情况。 实际值与估计值（理论值）离差平方和最小： 整理得到标准方程组： 相应地： 解：以收入为自变量x，以消费为因变量y，建立回归方程：yc=a+bx 例2：某产品产量与单位成本资料： 确定单位成本对产量的直线回归方程，解释回归系数的含义；并估计当产量为6000件时，单位成本平均为多少？ 利用a和b计算： （2）计算每对观测值的等级差D （3）求D的平方并加总 （4）代入公式： –1≤rs ≤+1 例：某公司6位员工的学历及其年终能力考核结论如表所示，求学历与能力的相关系数。 1、相关分析只能说明两个变量之间的相互依存关系，不一定代表因果关系。 2、在计算相关系数之前，一般要先做定性分析，否则就有可能因为数据的偶然巧合，得到较高的相关系数，从而把虚假相关视为可信的相关。 说 明 例如，根据一些人的研究，发现抽烟与学习成绩有负相关关系，但事实上我们不能由此推断是抽烟导致了成绩差。 有人曾对教师薪金的提高和酒价的上涨作了相关分析，计算得到一个较大的相关系数，这是否表明教师薪金提高导致酒的消费量增加，从而导致酒价上涨呢？ 经分析，事实是由于经济繁荣导致教师薪金和酒价的上涨，而教师薪金增长和酒价之间并没有什么直接关系。 第三节　回归分析的基本问题 回归分析法产生的历史 回归分析法由著名的英国生物学家、统计学家高尔顿（F.Galton）所创。 早年，高尔顿致力于化学和遗传学领域的研究。 他研究父亲们的身高与儿子们的身高之间的关系时，建立了回归分析法。 父亲们的身高与儿子们的身高之间关系的研究 1889年F.Gallton和他的朋友K.Pearson收集了上千个家庭的身高、臂长和腿长的记录 企图寻找出儿子们身高与父亲们身高之间关系的具体表现形式 下图是根据1078个家庭的调查所作的散点图（略图） 回归分析法产生的历史 160 165 170 175 180 185 140 150 160 17