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* 第二章 线性系统的数学模型 §2-1 线性系统的输入-输出时间函数描述 §2-2 线性系统的输入-输出传递函数描述 §2-3 非线性数学模型的线性化 §2-5 方框图 §2-4 典型环节的数学模型 §2-6 信号流图 §2-1 线性系统的输入-输出时间函数描述 一、线性系统输入-输出微分方程描述的建立 （机理分析法） 例1 机械位移系统 例2 R-L-C 系统 其中 n＞＝m 微分方程的一般形式： 描述线性定常系统的微分方程为： 实验辨识方法的理论依据 ： C(t)=H(t)r(t) 假设线性系统是定常的，初始条件为零或初始状态为零 ，其响应和输入之间满足齐次和线性关系 ，即： 二、脉冲响应（实验辨识法） 给定输入是单位脉冲函数时实验辨识基本原理 脉冲函数的表达式为： A为脉冲面积或脉冲强度。 脉冲强度A=1时的脉冲函数记为 ，令 并求取极限，则称为单位脉冲函数 。 ，令 零初始条件的线性定常系统的输入δ(t)，得到的输出称为系统的单位脉冲响应，也称为权函数，记作g(t)。 §2.2 线性系统的输入—输出传递函数描述 为什么采用传递函数来描述？ 微分方程描述不直观、求解困难。 　　线性常微分方程经过拉氏变换，即可得到系统在复数域中的数学模型，称之为传递函数。 　　将单位脉冲响应g(t)的曲线转换成相应的传递函数。表示其输入输出关系。 R(s)输入r(t)的像函数，即输入函数的拉氏变换； C(s)输出c(t)的像函数，即输出函数的拉氏变换。 传递函数—— 　　初始条件为零的线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。 几点说明： 只适用于线性定常系统。 是系统的动态数学模型。 分母的阶数一定高于分子的阶数 。(为什么？） 有惯性元件和受到功率的限制 一个传递函数只能表示一个输入量对一个输出量的关系。单输入-单输出系统，若多输入多输出要采用传递函数矩阵。 传递函数可以表示成有理分式，也可以表示成零极点表示的形式。 也可以表示成时间常数的形式 相似原理: 有相同的数学模型，有相同的运动形态 §2-3 非线性数学模型的线性化 非线性方程难于求解，用线性数学模型近似表示非线性数学模型。 在一定工作范围内进行线性化处理。 将非线性函数在平衡点附近展成泰勒级数，并忽略高次项。 例：直流发电机 X轴表示励磁电流 Y轴表示输出电势 由于存在磁路饱和，y和x呈非线性关系 y=f(x) 可以在(x0,y0)附近泰勒级数 忽略高次项，然后用增量表示 经上述处理后，就变成了线性方程。 上述方法称为小偏差线性化方法。它是基于这样一种假设：输入量和输出量只是在静态工作点附近作微小变化 。 几点注意： (1)只适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数是可以利用泰勒级数展开的（非本质非线性）。 (2)实际运行情况是在某个平衡点(即静态工作点)附近，且变量只能在小范围内变化。 (3)不同静态工作点得到的方程是不同的。 (4)对于严重的非线性，例如继电特性，因为处处不满足泰勒级数展开的条件，故不能做线性化处理。 (5)线性化后得到的是增量微分方程。 §2-4 典型环节的数学模型 比例 环节 如：刚性杠杆(水位控制中的杠杆)、 理想运放、上述线性化励磁环节 特征：输入输出成比例，不失真，无延迟 控制系统数学模型的处理方法：使用简单的典型的 环节模型， 通过串 、并联组成复杂系统。 惯性环节 如：R-C、R-L、励磁环节 特征：输出不能立即跟随输入的变化 --惯性环节时间常数。越大， 响应越慢。 R-C串联电路与 直流电压接通，电容上电压建立过程。 积分环节 微分方程 T越大，变化越慢 如：转角是转速的积分，T—积分时间常数， 输入不为零则输出无限增加，一旦输入为零，输出不 回零，而是保持在输入为零时刻的值（记忆）。 应用：如电动阀门，使水位控制系统实现无差调节； 但，对系统稳定性不利 微分 环节 特征：输出与输入的变化成正比（预测功能） 带惯性微分环节 实际：一阶微分环节 微分方程 振荡环节 如：R-L-C 、电枢控制直流电机 特征：具有一般系统的特征，输出会振荡 1ζ0 纯滞后 环节 特征：输出是输入的延迟 如：传送带、间隙等 G（s）= 当τ很小时 §2-5 方框图 一、结构图的基本概念 把方块图和传递函数结合起来。称为动态结构图。是描述系统各组成元件之间信号传递关系的一种数学图形。 结构图给出了信息传递的方向又给出了输入输出的定量关系。 即C(s)=R(s)G(s)。 二、结构图的组成和建立 由四种基本图形符号组成。