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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 描述函数法分析非线性系统稳定性 如果 与 曲线相交，则可能产生自持振荡。 严格地讲，自持振荡不是正弦的，但可以用正弦来近似。 自持振荡的幅值是由交点处 曲线上的A值决定的，而频率是由交点处 曲线上的频率 决定的。 非线性系统自持振荡分析 自持振荡分析 · · · · · · Im Re ( ) w j G 0 ( ) A N 1 - A B C D 1 M 2 M 分析判断图中各自振荡点稳定与否? 例1 确定图中非线性系统的自振荡振幅和频率。 理想继电特性的描述函数为 由于 故 的轨迹为沿整个负实轴的直线 线性部分的频率特性 根据产生自持振荡的条件 得 解之得 将之代入 得 由 得 例1 具有饱和非线性的系统如图所示，试求： (1) k=15时系统的自由运动状态； (2) 欲使系统稳定的工作,不出现自振荡，k的临界稳定值是多少。 非线性特性的描述函数为 2 1 r=0 c ) 1 2 . 0 )( 1 1 . 0 ( + + s s s k - 2 1 ) 1 2 . 0 )( 1 1 . 0 ( + + s s s k ) 1 2 . 0 )( 1 1 . 0 ( + + s s s k 当A=1时， 当A=1时， 故曲线位于(-0.5,-∞)这段负实轴上。 与负实轴的交点频率为 K=15 -1 -0.5 K=7.5 Im Re o 非线性系统结构图的简化 （1）两非线性特性的串联时，其总的描述函数一般并不等于两个非线性环节描述函数的乘积。通常可采取逐点分析的方法求等效特性。 （2）两非线性特性并联时总的描述函数为两个非线性环节描述函数的叠加。 （3）若遇到非线性与线性环节组成的局部反馈系统，在化简变化时，可以认为外作用均为零，因为讨论稳定性和自振时，重要是研究系统内部形成的封闭回路所造成的结果。所以只要抓住非线性环节N的输入端x和输出端y不变，去简化线性部分，使其变成典型结构即可。 例2 化简图(a)示的非线性与线性环节组成的局部反馈系统，使成为典型结构。 － x y － G1(s) G2(s) G3(s) N(A) (a) － y x － G1(s) G2(s) G3(s) N(A) y x N(A) － (c) (b) 描述函数方法的精确度 1.用描述函数方法来研究非线性系统是线性系统频率域方法的一种推广，是一种近似方法。 2. 在工程实际中，在实际经验和实验的基础上，还是经常地采用描述函数方法来研究非线性系统，特别是分析自振问题。。 3. 描述函数法在具体应用时又是采用图解的方法，因此必然存在图解的精度问题。如果曲线相切或者几乎相切，那么图解的精度便很差，系统中是否存在振荡就要进一步研究。 4.描述函数法是在研究系统的振荡问题时引入的，是一种研究非线性系统的工程方法，由于它常常能提供一些比较符合实际情况的结论，因此还是有实用价值的。 7.3 改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用 改善非线性特性之措施 （1）调整线性部分的参数，或对线性部分进行校正，使其幅性特性和负倒特性无自振交点，且使不包括特性。 （2）引入新的非线性环节，改造系统原有非线性特性。最常见的如对原非线性特性并联一个适当性质的非线性，使合成特性为线性。 （3）用振荡线性化消除死区间隙以及继电特性等非线性因素的不利影响。 非线性特性的应用 1．非线性非分反馈 即系统响应较小时，不接入反馈；而响应较大时，接入速度反馈。 3(非线性反馈） 2.非线性串联校正 L(ω) 1 2 －20dB/dec －40dB/dec －20dB/dec －40dB/dec 1/T1 2 1 1/T 在小信号输入时，放大器工作在线性状态，特性低频区有较大的放大倍数，而使稳态误差精度较高。当大信号输入时间，放大器进入饱和状态，系统有较大的相角裕度，避免了过大的超调，使之动态平稳。它使系统具有两种跟随速度，快速性也较好，比较满意的解决了稳态精度及系统超调之见的矛盾。 3．非线性相位补偿 7.4 基于simulink的非线性系统分析 例3 已知非线性系统的结构图可以简化成只含一个非线性环节和一个线性部分串联的闭环结构，其中为非线性环节的描述函数，线性环节的传递函数为 系统的初始状态为零。非线性环节取下面4种情况： 1）饱和非线性环节； 2）死区非线性环节； 3）磁滞回环非线性环节； 4）线性比例增益环节。 试求系统在单位阶跃输入作用下的系统输出及误差与