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Chapter9 第九章 线性系统的状态空间综合法 §9.1 线性系统的能控性与能观测性 2 设系统 (A, b) 可控，但不是标准型 处理方法 直接求解 借助于线性变换 下面介绍第二种方法的计算步骤 1）求出原系统特征多项式 2）求出希望的特征多项式 3）计算K——对应能控标准型的状态反馈阵 4）求变换矩阵P——P-1变换把 (A，b)化为可控标准型 其中P1是 的最后一行 5）求状态反馈阵K 求状态反馈向量K，使闭环特征值为 解：系统可控性矩阵： 系统可控，故可以通过状态反馈实现任意极点配置 方法1 直接法： 希望的闭环特征多项式： 例9-23 已知SI线性定常系统的状态方程为： 比较系数得： 解得： 即 方法2 线性变换法： 被控系统的特征多项式为： 希望特征多项式： 于是 可控性矩阵 绘制状态变量图 v 1/s x2 x’2 1/s x1 u=x’1 -6 1/s x3 x’3 -12 14 -186 1220 原系统： 状态反馈： 3 已知被控系统的I/O描述（传递函数或微分方程） 一般方法：先列写状态空间表达式，再求状态反馈 （能控标准型实现较为简单） 例9-24 设受控系统传递函数为 试用状态反馈使闭环极点配置在-2，-1+j，-1-j 解：系统为SISO系统，其传递函数无零极点对消 故该系统可控可观，可实现任意配置极点。 可控标准型实现： 引入状态反馈后的系统矩阵： 引入状态反馈后的特征方程： 希望特征方程 对应系数相等: 状态变量图： -4 -1 -4 1/s x2 = x’2 1/s x3 = x’3 -2 1/s x1 x’1 u -3 10 y v 状态反馈矩阵K 思考：1）引入状态反馈后，系统的可控可观性是否发生了变化？ 2）能否通过输出反馈实现该极点配置？ ① A 为对角阵,且 A 的特征值 互异,即: 只要 C 无全零列，状态x(t) 就是完全可观的。 5）约当标准型判据 例9-13 判断线性定常系统的可观测性。 解：C阵不包含元素全为零的列，系统完全可观测 ② A 为 m×m 的约当阵 J, 且λ1维m重根, 即: 只要约当块对应的C 的第一列不是全零列，状态就完全可观。 例9-14 C阵的第一列非零，系统状态完全可观测. 只要每个约当块对应的第一列 线性无关，则状态完全可观。 ③ A为J 阵 即 系统状态完全可观。 注：输出的维数q λi 所对应的约当块的块数时，系统可能可观； 输出的维数q λi 所对应的约当块的块数时，系统一定不可观。 例9-15 判断已知系统的可观测性。 所以，该系统状态 完全可观。 （1） 以上两个矩阵元素不全为零，系统可观。 解： 第一个J块对应的第一列元素为零，系统不可观。 （2） 解： 课堂练习试判断下列系统的可观测性。 则 一定可观 6）能观标准型 9-1-7 可控可观性与传递矩阵的关系 1) SISO系统 c(sI-A)-1 不存在零极点对消 可观 由c(sI-A)-1b导出的传递函数不存在零极点对消 可控可观 (sI-A)-1b不存在零极点对消 可控 思考题：研究下列系统可控性、可观性与传递函数的关系。 （1） 可控不可观 （2） 可观不可控 （3） 不可控不可观 多输入系统可控 (sI-A)-1B的n行线性无关 多输出系统可观 C(sI-A)-1的n列线性无关 例9-16 确定已知系统的可控可观性。 解： 三个行向量线性无关， 故系统可控。 2) MIMO系统 三列线性无关，故系统可观。 注意：多输入系统的可控性与(sI-A)-1B中有无零极点对消无关； 多输出系统的可观性与C(sI-A)-1中有无零极点对消无关。 但对SISO系统 (sI-A)-1b存在零极点对消 不完全可控; c(sI-A)-1 存在零极点对消 不完全可观。 1 非奇异线性变换的不变性 变换前后，系统特征值、传递矩阵、可控性、可观测性均不变。 证明：非奇异变换的不变性 (P特征向量构成) 9-1-8 非奇异线性变换的不变性 P变换 1）特征值不变性 2） 传递矩阵不变 3）可控性不变 4）可观测性不变 同理可证： 令 整理： 2 化可控系统为可控标准型 Ac 即: 即 为可控性矩阵的逆矩阵的最后一行 的计算方法： （2）计算可控性矩阵逆阵 ， （3） 取