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第7章 非线性控制系统 7.1 非线性系统的基本概念 7.2 二阶线性和非线性系统的特征 7.3 非线性系统的相平面分析 7.4 非线性系统一种线性近似表示 ——描述函数 7.5 非线性环节的串并联及系统的变换 7.6 利用非线性特性改善系统的性能 则系统的分段线性方程 分界线方程为 把 平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个线性区域，相轨迹图对称于坐标原点。系统没有奇点，但有渐近线。 当 时 Ⅰ区相轨迹是一组斜率为-1/T的直线 图7.26所示为始于初始点A的给定非线性系统的完整相轨迹，它经B，C，D，E，F等衔接点，最后收敛于死区内横轴上的G。G点的位置取决于系统的初始条件及阶跃输入的幅度。 代表系统的稳态误差。 （3）具有死区滞环特性的继电控制系统 当 时 相平面的上下两部分各分成三个线性区域，三个域的微分方程与图7.26三个域的微分方程分别相同，两图响应域的相迹也相同。 但在图7.28中由于继电器有滞环，致使继电器释放时的 都比图7.26大，这就增加了系统的振荡趋势。 当Ⅰ域中的相迹斜率的绝对值 不是很大时，系统将出现稳定的极限环。只有当 足够大时，相轨迹才能趋向于e轴的-a至a的线段。这时系统是稳定的系统。 描述函数是非线性特性的一种线性近似方法。它是线性系统理论中的频率特性法在一定假设条件下，在非线性系统中的应用。它主要用来分析非线性系统的稳定性，以及确定非线性系统在正弦函数作用下的输出响应特性。应用这种方法时非线性系统的阶数不受限制。描述函数的最基本思想是用输出信号中的基波分量来代替非线性元件在正弦输入信号作用下的实际输出。 7.4.1 描述函数的意义 非线性元件 线性部分 假设非线性元件的输出是对称函数，则 若 ，其输出 假设系统线性部分具有低通滤波特性，非线性元件的输出可化为 非线性元件在正弦函数作用下，输出中的基波分量和输入正弦波的复数比 ——描述函数 上图等效为： Y——非线性元件输出信号基波分量的振幅 A——输入正弦信号的振幅 Φ1——非线性元件输出信号基波与输入正弦信号的相位差 7.4.2 典型非线性特性的描述函数 描述函数 式中 1. 饱和特性的描述函数 若 ，其输出 y(t)为奇函数 描述函数 ——基准描述函数 2. 死区特性的描述函数 若 ，其输出 描述函数 ——基准描述函数 3. 回环特性的描述函数 若 ，其输出 描述函数 4. 继电器特性的描述函数 若 ，其输出 其中 （1） m=-1 描述函数的图像是一条距实轴 的水平线 （2） m=1，a0 当 ， 当 ， 当 ， （3） m=1，a=0 ？ （4） 起点都应落在 水平线上 注意：当? =0时，线性系统处于无阻尼运动状态，相轨迹虽然是封闭曲线形的，但不是孤立的。 7.2.3 二阶非线性系统的特征 二阶非线性系统在零输人情况下的数学描述 （7.15） 用线性系统的数学模型介绍的小范围线性方法求出其在平衡点附近的线性化方程，然后再去分析系统的相轨迹与奇点的情况。 （7.16） 式（7.15）、式（7.16）所表示的系统的平衡点是（0，0），因为只有当x1、x2均为零时，函数f1、f2均等于零。 根据泰勒定理，将函数f1、f2展开 式中， ；r1，r2为余项或称高次项 在其平衡点（0,0）附近小范围内线性化方程为 在大多数情况下，线性化系统的相轨迹与原非线性系统的相轨迹在相平面原点（平衡点）某个适当小范围内有着相同的定性特征。 稳定焦点 不稳定焦点 中心点或其他 稳定焦点 不稳定焦点 中心点 稳定节点 不稳定节点 鞍点 稳定节点 不稳定节点 鞍点 非线性化系统的平衡点 （x1=0 ，x2=0） 线性化系统的平衡点 （x1=0 ，x2=0） 表7.2 线性化系统与非线性系统的相轨迹特征 1. 除了线性化系统的特征根是一对纯虚根的情况外，非线性系统在平衡点附近的相轨迹与线性化系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。 2.在非线性系统中，有可能其相轨迹为一个（或多于一个）孤立的封闭曲线（极限环），说明非线性系统可能存在自持振荡。