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第二节 分离变量方程的解法: 例1. 求微分方程 例2. 解初值问题 例3. 求下述微分方程的通解: 练习: 例4. 例5. 例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 内容小结 3. 解微分方程应用题的方法和步骤 思考与练习 作业 备用题 已知曲线积分 * 转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解分离变量方程 可分离变量方程 第十二章 设 y＝? (x) 是方程①的解, 两边积分, 得 ① 则有恒等式 ② 当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 说明由②确定的隐函数 y＝?(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝?(y) 也是①的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法 1 分离变量 即 ( C 0 ) 解法 2 故有 积分 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 子的含量 M 成正比, 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有 (初始条件) 对方程分离变量, 即 利用初始条件, 得 故所求铀的变化规律为 然后积分: 已知 t = 0 时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 机动 目录 上页 下页 返回 结束 成正比, 求 解: 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 对方程分离变量, 然后积分 : 得 利用初始条件, 得 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时 机动 目录 上页 下页 返回 结束 开始时容器内盛满了水, 从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变 解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为 即 求水 小孔横截面积 化规律. 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 设在 内水面高度由 h 降到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应下降体积 因此得微分方程定解问题: 将方程分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两端积分, 得 利用初始条件, 得 因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 微分方程的概念 微分方程; 定解条件; 2. 可分离变量方程的求解方法: 说明: 通解不一定是方程的全部解 . 有解 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 例如, 方程 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 解; 阶; 通解; 特解 y = – x 及 y = C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求下列方程的通解 : 提示: (1) 分离变量 (2) 方程变形为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P 269 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 * * * * *