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第二节 单正态总体的假设检验 * 一、总体均值的假设检验 1. 方差 已知情形—— 检验法 个样本， 为样本均值. （1） 已知常数. 由第五章第三节知， 当 为真时， 故选取 作为检验统计量， 记其观察值为 设总体 是取自 的一 检验假设 其中 为 由于 是 的无偏估计量， 当 成立时， 不应太大， 当 成立时， 有偏大的趋势, 故拒绝域形式为 对于给定的显著性水平 查标准正态分布表得 使 待定). ( 由此即得拒绝域为 即 根据一次抽样后得到的样本观察值 算出 的观察值 若 则拒绝原假设 即认为总体均值与 有显著差异； 若 则接受原假设 即认为总体均值与 计 无显著差异. 类似地， 对单侧检验有： (2) 检验假设： 可得拒绝域为 (3) 左侧检验： 右侧检验： 检验假设： 可得拒绝域为 完 例1 某车间生产钢丝, 用 表示钢丝的折断力, 验判断 其中 了一批材料, 有会什么变化 (即仍有 ), 但不知折断力的均值 和原先有无差别. 现抽得样本, 测得其折断力为: 取 试检验折断力均值有无变化? 解 (1) 建立假设 由经 今换 从性能上看估计折断力的方差 不会 (2) (3) 确定 使 选择统计量 对于给定的显著性水平 查正态分布表得 从而拒绝域 为 (4) 所以 由于 故应拒绝 即认为折断力的均值发生了变化. 完 例2 有一工厂生产一种灯管, 正态分布 根据经往的生验, 平均寿命不会超过1500小时. 为了提高灯管的平均寿 工厂采用了新的工艺, 的能提高灯管的的平均寿命, 生产的25只灯管的寿命, 其平均值是1575 小时. 尽管 样本的平均值大于1500小时, 试问: 可否由此判定这 已知灯管的寿命 服从 知道灯管的 命, 为了弄清楚新工艺是否真 他们测试了采用新工艺 恰是新工艺的效应, 而非偶然的原因使得抽出的这25 只灯管的平均寿命较长呢? 解 把上述问题归纳为下述假设检验问题: 从而可利用右侧检验法来检验, 相应于 取显著水平为 查附表得 因已测出 从而 由于 从而否定原假设 受备择假设 即认为新工艺事实上提高了灯管的 平均寿命. 完 接 2. 方差 未知情形—— 检验法 个样本， 与 分别为样本均值与样本方差. 检验假设 已知常数. 由第5章第三节知， 当 为真时, (1) 设总体 是取自 的一 其中 为 故选取 作为检验统计量， 记其观察值 由于 是 的无偏估计量， 是 的无偏估计量, 当 成立时， 不应太大， 当 成立时， 有偏大的趋 故拒绝域形式为 （ 待定）. 对于给定的显著性水平 查分布表得 使 势, 由此即得拒绝域为 即 根据一次抽样后得到和样本观察值 算出 的观察值 若 则拒绝原假设 否则接受假设 类似地， 对单侧检验有： 右侧检验： 检验假设： (2) 计 可得拒绝域 为 （3） 检验假设： 可得拒绝域为 左侧检验： 例3 水泥厂用自动包装机包装水泥, 每袋额定重量 是50kg, 某日开工后随机抽查了9袋, 称得重量如下: 设每袋重量服从正态公布, 问包装机工作是否正常 解 (1) (2) 建立假设 选择统计量 (3) 确定 使 从而拒绝域 为 对于给定的显著性水平 分布表得 查 (4) 由于 所以 故应接受 即认为包装机工作正常. 二、总体方差的假设检验 个样本， 与 分别为样本均值与样本方差. (1) 其中 为已知常数. 由第五章第三节知， 当 为真时, 检验假设 设总体 是取自 的一 故选取 作为检验统计量. 相应的检验法称为 检验法. 由于 是 的无偏估计量， 时, 应在 附近, 当 成立时, 当 成立 有偏小或偏 大的趋势， 故拒绝域形式为 或 ( 待定) 对于给定的显著性水平 查分布表得 使 或 由此即得拒绝域为 或 即 根据一次抽样后得到的样本观察值 计算出 的观察值， 若 或 则拒绝原假设 若 则接受原假设 类似地， 对单侧检验有： （2） 右侧检验：检验假设： 可得拒绝域为 （3） 检验假设 左侧检验： 可得拒绝域为 例4 一公司声称某种类型的电池的平均寿命至少为 21.5小时, 有一实验室检验了该公司制造的6套电池, 得到如下的寿命小时数: 试问: 这种类型的电池低于该公 司所声称的寿命? (显著性水平 ). 解 可把上述问题归纳为下述假设检验问题: 这些结果是否表明, 这可利用 检验法的左侧检验法来解. 对于给定的显著性水平 查附表得 本例中 再据测得的6个寿命小时数算得: 解 可把上述问题归纳为下述假设检验问题: 这可利用 检验法的左侧检验法来解. 对于给定的显著性水平 查附表得 本例中 再据测得的6个寿命小时数算得: 由此计算 因为 所以不能否定 原假设 从而认为这种类型电池的寿命并不比公 司宣称的寿命短. 完 例5 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命 (以小时