节向量空间正交向量组量.pptVIP

§5.1 向量组的正交化 一、向量内积 二、正交向量组 例2 试用施密特方法化向量组为正交向量组 三、正交矩阵 2. 正交矩阵的性质 五、小结 第五章 相似矩阵及二次型 向量的内积 矩阵的特征值与特征向量的概念及计算 相似矩阵 实对称矩阵的对角化 二次型及其标准型 正定二次型 一、向量内积 三、正交矩阵 二、正交向量组 空间解析几何向量运算回顾 1. 内积的定义 【定义】设a=(a1, a2, ???, an )T 及 b=(b1, b2, ???, bn )T 是 Rn 中的两个向量，则它们对应分量乘积之和称为向量a和b 的内积。记作 即 例如，设a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T。则a和b的内积为 =(-1)?2+1?0+0?(-1)+2?3 =4 设a，b，g为Rn中的任意向量，则 (1) [a，b] = [ b ， a ] ； (2) [ka，b] = k[a，b] ； (3) [a+b， g ]= [a，g] + [b ，g ]； (4) [a，a ]?0，当且仅当a=0时，有[a，a ]=0。 下页 2. 内积的性质： 3. 向量的模： 【定义】对Rn中的向量a=(a1, a2, ???, an )T，数 称为向量a的模（长度），也称为向量范数。 例如，a=(-3, 4)T的长度为： (1)||a||?0，当且仅当a=0时，有||a||=0； (2)||ka||=|k|?||a|| (k为实数)； (3) ||a+ b || ≤ ||a|| ＋ ||b||。 (4)对任意向量a，b，有| （a，b） |?||a||?||b||。 下页 向量模的性质： 长度为1的向量称为单位向量。记为：α0 4. 单位向量： 如果向量a与b的都不是零向量，它们的夹角θ定义为： 5. 两个非零向量的夹角： 1. 几个概念 对于n维向量α、 β，若[a，b] =0，则称向量α与β是互相正交(垂直)的。如 零向量与任意向量正交。又如 正交向量： 正交向量组：若Rn中，s个非零n维向量 a1，a2，???，as两两正交，即 (ai,aj)=0(i?j)，则称该向量组为正交向量组。 如：Rn中的单位坐标向量组e1，e2，???，en，是两两正交，(ei,ej)=0(i?j)，且均为单位向量。 下页 正交规范向量组： 如果正交向量组a1，a2，???，as的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组。 例1、已知两向量 解、 例2 (例1的一般化, 也称正交基的扩张定理) 设 是 中的一个正交向量组, ,证明必可找到 个向量 使 构成 的正交基. 都正交. 证 只需证必可找到 使 与 记 必有非零解. 其任一非零解即为所求的 证明：设a1，a2，???，as为正交向量组，且有数k1，k2，???，ks， 使k1a1+k2a2+? ? ?+ksas=0。 【定理】Rn中的正交向量组是线性无关的向量组。 2.正交向量组与线性无关向量组 Ki[ai, ai]=0， 上式两边与向量组中的任意向量ai作内积， [ai , k1a1+k2a2+? ? ?+ksas]=0 (1?i?s)， 可得 于是 a1，a2，???，as是线性无关的向量组。 但 ai?0，有[ai,ai]0。 所以 ki=0 (1?i?s)， 正交向量组 线性无关向量组 ？ 对任意一个线性无关向量组可以找到一个与它等价的正交向量组，即向量组的正交化。 五、施密特正交化过程 设 是一组线性无关的向量, 它就是它生成的向量空间 的一个基(坐标系), 如何在向量空间 L 中建立正交的基(坐标系)? 这个问题就是… 找与 等价的正交向量组 以三个向量 为例, 从几何直观上去求. 上式两边与 做内积, 注意