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第五节 奇异值分解 矩阵的奇异值分解在矩阵特征值问题，最小二乘法问题及广义逆矩阵问题等有重要应用 引理1 证明 设?是AHA的特征值，x是相应的特征向量， 则 AHAx= ?x 由于AHA为Hermite 矩阵，故?是实数。又 引理2 证明 设x是方程组AHAx=0的解， 对于Hermite 矩阵AHA， AAH，设 AHA， AAH有r个非0特征值，分别记为 奇异值的定义 证明 1]求矩阵AHA的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵V; 奇异值分解方法2--利用矩阵AAH求解 1]先求矩阵AAH的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵U; 例 求矩阵A的奇异值分解 推论 在矩阵A的奇异值分解A=UDVH中，U的列向量为AAH的特征向量， V的列向量为AHA的特征向量. * * 矩阵的等价标准型 定理：设 则存在 使得 右式称为矩阵A的等价标准型 酉等价：设 若存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵 V，使得 则称A与B酉等价。 矩阵的奇异值分解就是矩阵在酉等价下的一种标准型。 同理可证AAH的特征值也是非负实数。 则由 得 即： AHA与AAH非0特征值相同，并且非零特征值的个数为 引理3 说明：A的正奇异值个数恰等于 ，并且A与AH有相同的奇异值。 定理 酉等价的矩阵有相同的奇异值 由 证 例2.若A是正规矩阵，则A的奇异值就是A的特征值的模。 证：因A为正规矩阵，所以A酉相似于对角阵 即存在n阶酉矩阵U，使 称为矩阵A的酉等价标准形. 奇异值分解定理 由于AHA是Hermite矩阵，存在n阶酉矩阵V,使 其中 将矩阵V分块， 则有： 比较等式两端得： 从而有 设 即U1的r个列是两两正交的单位向量，则 于是 5] 构造奇异值分解 4]扩充U1为酉矩阵U=(U1 ,U2) 3]令 2]记 奇异值分解方法1—利用矩阵AHA求解 例1、求矩阵 的奇异值分解 可求得 的特征值为 对应的特征向量依次为 于是可得： 令 其中 计算： 构造： 则 的奇异值分解为 4]扩充V1为酉矩阵V= (V1 ,V2) 5] 构造奇异值分解 2]记 3]令 利用矩阵AAH求解 说明：此定理仅是奇异值分解的必要条件，但不是充分条件。