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第五节 一、有向曲面及曲面元素的投影 指定了侧的曲面叫有向曲面, 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 对一般的有向曲面? , 2. 定义. 3. 性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 例1. 计算 例2. 计算曲面积分 例3. 设S 是球面 四、两类曲面积分的联系 例4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为 例5. 设 例6. 计算曲面积分 内容小结 性质: 2. 常用计算公式及方法 当 思考与练习 P167 题3(3). 设 备用题 求 * 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 对坐标的曲面积分 第十章 ? 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面分左侧和右侧 (单侧曲面的典型) 其方向用法向量指向 方向余弦 0 为前侧 0 为后侧 封闭曲面 0 为右侧 0 为左侧 0 为上侧 0 为下侧 外侧 内侧 ? 设 ? 为有向曲面, 侧的规定 表示 : 其面元 在 xoy 面上的投影记为 的面积为 则规定 类似可规定 1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 ? 的流量? . 分析: 若 ? 是面积为S 的平面, 则流量 法向量: 流速为常向量: 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 , 则 设 ? 为光滑的有向曲面, 在 ? 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, 分, 记作 P, Q, R 叫做被积函数; ? 叫做积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 若对? 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 引例中, 流过有向曲面 ? 的流体的流量为 称为Q 在有向曲面?上对 z, x 的曲面积分; 称为R 在有向曲面?上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面?上对 y, z 的曲面积分; 若记 ? 正侧的单位法向量为 令 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 (1) 若 之间无公共内点, 则 (2) 用?ˉ 表示 ? 的反向曲面, 则 定理: 设光滑曲面 取上侧, 是 ? 上的连续函数, 则 证: ∵? 取上侧, ? 若 则有 ? 若 则有 (前正后负) (右正左负) 说明: 如果积分曲面 ? 取下侧, 则 其中 ? 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方 体的整个表面的外侧. 解: 利用对称性. 原式 ? 的顶部 取上侧 ? 的底部 取下侧 解: 把 ? 分为上下两部分 根据对称性 思考: 下述解法是否正确: 其中 ? 为球面 外侧在第一和第八卦限部分. 的外侧 , 计算 解: 利用轮换对称性, 有 曲面的方向用法向量的方向余弦刻画 令 向量形式 ( A 在 n 上的投影) 解: 。 求E 通过球面 ? : r = R 外侧的电通量 ? . 是其外法线与 z 轴正向 夹成的锐角, 计算 解: 其中? 解: 利用两类曲面积分的联系, 有 ∴ 原式 = 旋转抛物面 介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 原式 = 定义: 1. 两类曲面积分及其联系 联系: 思考: 的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ? 两类曲线积分的定义一个与 ? 的方向无关, 一个与 ? 面积分 第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 二重积分 (1) 统一积分变量 代入曲面方程 (方程不同时分片积分) (2) 积分元素投影 第一类： 面积投影 第二类： 有向投影 (4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况. 转化 时， （上侧取“+”, 下侧取“?”) 类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 . 1. P167 题2 提示: 设 则 ? 取上侧时, ? 取下侧时, 2. P184 题 1 3. P167 题3(3) 是平面 在第四卦限部分的上侧 , 计算 提示: 求出 ? 的法方向余弦, 转化成第一类曲面积分 取外侧 . 解: 注意±号 其中 利用轮换对称性 * * * *