节维随机向量的分布.pptVIP

一、二维随机向量的联合分布函数 边缘分布 二、联合分布 2.连续型 二维均匀分布 三、边缘分布 2.连续型 四、随机变量的独立性 练习： 设( X,Y )是连续型二维随机变量，联合密度函数为 由于 所以 (X,Y) 关于 X 的边缘密度函数为 同理, 关于Y 的边缘密度函数为 求 (1) c 的值；(2) 两个边缘密度； 解 (1) 设 (X, Y ) 的概率密度是 例7 x y 0 1 x y 0 1 (2) 所以 x y 0 1 (2) 所以 x y 0 1 例8 解 随机向量(X,Y)的密度概率为 x y O 2 1 D 其他 其他 二维均匀分布的边缘分布不一定是一维均匀分布. 例8 解 随机向量(X,Y)的密度概率为 x y O 2 1 D 即(X,Y)服从单位圆 上的均匀分布. 例9 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求 X 及Y 的边缘密度. 解 边缘密度为 类似地, 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念. 两事件A, B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A, B独立 . 设 X, Y是两个随机变量，若对任意的 x, y , 则称 X, Y 相互独立 . 上式用分布函数表示,即 情形1 ( X,Y )是离散型随机变量，则 X, Y 相互独立的定义等价于 例10 袋中有两只白球3只黑球，摸球两次，定义 X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则有放回和不放回时(X,Y)的联合分布和边缘分布分别为 经验证，放回时，X与Y相互独立；不放回时，不独立. 例11 设(X,Y )的联合分布律为 且X与Y 相互独立，试求 和 . 又由分布律的性质, 有 解 由X与Y 相互独立，知 解 例12 假设随机变量 X 和 Y 相互独立，都服从参数为 p(0p1)的 0-1分布，随机变量 问 p 取何值时，X 和 Z 相互独立？ 首先求出 Z 的概率分布： 因为X 和Y相互独立 令 所以 p 取0.5时，X 和 Z 相互独立. 情形2 ( X,Y )是连续型随机变量，则 X, Y 相互独立的定义等价于 在平面上几乎处处成立 . 解 例13 设(X,Y )的联合密度函数为 问X与Y是否相互独立？ X, Y 的边缘密度分别为 成立，所以X, Y相互独立. 解 例14 设(X,Y )的联合密度函数为 问 X与Y是否相互独立？ X, Y的边缘密度分别为 所以 X, Y 不相互独立. x y 0 1 1 上的均匀分布，判断X与Y是否相互独立. 例15 设二维随机变量(X,Y)服从单位圆 解 X与Y 的边缘密度分别为 所以X, Y 不相互独立. 二维随机向量的函数的分布 1.离散型 设随机向量(X,Y )的联合分布律为 例16 设随机变量(X,Y )的联合分布律为 解 分别求X+Y、X 2+Y 2、min(X,Y )的分布律. 证 所以 例17 此性质称为泊松分布的可加性 * 第三章 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布. 但有些 随机现象用一个随机变量来 描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时, 命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）来确定的, 等等. 第一节 定义 一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1, X2, …，Xn)为n 维随机向量 . 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，为简单起见，我们重点讨论二维随机向量 . 请注意与一维情形的对照 . 二维随机向量（X,Y） X 和Y 的联合分布函数 X 的分布函数 一维随机变量 X 二维随机变量分布函数的基本性质 即 同理, 边缘分布函数与联合分布函数的关系 二维随机向量 (X, Y ) 作为一个整体, 用联合分布来刻画. 而 X 和Y 都是一维随机变量, 各有自己的分布, 称为边缘分布. 设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为 例1 则边缘分布函数为 称该分布为二维指数分布,其中参数 说明：联合分布可以唯一确定边缘分布，但是边缘分布一般不能唯一确定联合分布. 也即，二维随机向量的性质一般不能由它的分量的个别性质来确定，还要考虑分量之间的联系，这也说明了研究多维随机向量的作用 . 边缘分布与参数λ无关 . 则称二维表 为(X,Y)的联合分布律. 1.离散型 例2 袋中有两只白球 3只黑球，放回摸球两次，定义 X 为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律. 解 解 例2 袋中有两只白球 3只黑球，放回摸球两次，定义 X 为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白球数，求