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第十章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分 三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第十章 解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “分割, 作和, 取极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)“分割” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“作和” 在每个 则 中任取一点 小曲顶柱体。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3)“取极限” 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为? , 则 若 非常数 , 仍可用 其面密 “分割, 作和, 取极限” 的方法解决. 1)“分割” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)“作和” 中任取一点 3)“取极限” 则第 k 小块的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “分割, 作和, 取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性 定义: 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: 如果 在D上可积, 也常 二重积分记作 这时 分区域D , 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理: 若函数 定理2. (证明略) 定理1. 在D上可积. 限个点或有限个光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 例如, 在D : 上二重积分存在 ; 在D 上 二重积分不存在（无穷大 D上无界） . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质 ( k 为常数) ? 为D 的面积, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别, 由于 则 5. 若在D上 6. 设 D 的面积为? , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理) 证: 由性质6 可知, 由连续函数介值定理, 至少有一点 在闭区域D上 ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 使 连续, 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 比较下列积分的大小: 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 从而 于直线的上方, 故在 D 上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 估计下列积分之值 解: D 的面积为 由于 积分性质5 即: 1.96 ? I ? 2 D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同, 且非负, 解: 由它们的积分域范围可知 例3. 比较下列积分值的大小关系: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 判断积分 的正负号. 解: 积分域分为 则 原式 = 舍去此项 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 估计 的值, 其中 D 为 解: 被积函数 D 的面积 的最大值 的最小值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱体的底为 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地, 当曲顶柱体的底为 则其体积可按如下两次积分计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体