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《线性代数》 下页 结束 返回 一、研究对象 三、逻辑结构 二、核心方法 下页 以讨论线性方程组的解为基础，研究线性空间的结构、线性变换的形式. 《线性代数》研究对象与逻辑结构概述 通过初等(线性)变换，将方程组化为最简形式的同解方程组求解. 方程组有解？ 是唯一解？ 无解，停 求唯一解，停 求通解，停 Y N Y N 三、逻辑结构 四、基本要求 下页 理解内在逻辑，掌握运算技能；记录分析思路，及时完成作业. 方程组有解？ 是唯一解？ 无解，停 求唯一解，停 求通解，停 Y N Y N 例1． 显然，此方程组无解. 例2． 显然，此方程组有无穷多解. a11x1+a12x2+ ??? +a1nxn =b1 a21x1+a22x2+ ??? +a2nxn =b2 am1x1+am2x2+ ??? +amnxn=bm ??? ??? ??? ??? ??? 例3． 此方程组如何求解 ？ 第1章 行列式 1.1 二三阶行列式 考虑用消元法解二元一次方程组 (a11a22- a12a21) x2= a11b2- b1a21 (a11a22- a12a21) x1= b1a22- a12b2 第1节 行列式的概念 用a22和a12分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去x2得 同理，消去x1得 当 时，方程组的解为 下页 二阶行列式 当 时，方程组的解为 为便于叙述和记忆， 引入符号 D = D1 = 称D为二阶行列式. 按照二阶行列式定义可得 D2 = 于是，当D≠0时，方程组的解为 下页 j = 1，2，3 类似引入符号 其中D1, D2, D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式. 三阶行列式 求解三元方程组 称D为三阶行列式. 下页 25431 是一个5级排列. 如， 3421 是4级排例； 例1．写出所有的3级全排列. 解：所有的3级排列为： 321 . 312， 231， 213， 132， 123， 1.2 排列 n 个自然数1,2,…,n 按一定的次序排成的一个无重复数字的有序 数组称为一个 n 级排列，记为i1i2…in.显然，n 级排列共有个n! .其 中，排列12…n称为自然排列. 下页 3 4 2 1 逆序数的计算方法(向前看法) 4 3 2 1 从而得 τ(3421)=5. 5 逆序及逆序数 定义1 在一个级排列i1i2 ? ? ?in中，若一个较大的数排在一个较小数 的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为 这个排列的逆序数，记为τ(i1i2 ? ? ?in). 下页 奇排列与偶排列 逆序及逆序数 定义1 在一个级排列i1i2 ? ? ?in中，若一个较大的数排在一个较小数 的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为 这个排列的逆序数，记为τ(i1i2 ? ? ?in). 逆序数是奇数的排列，称为奇排列. 逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列. 如 3421是奇排列， 1234是偶排列， 因为τ(3421)=5. 因为τ(1234)=0. 下页 定义3 符号 称为n阶行列式， 它表示代数和 其中和式中的排列 j1 j2 ? ? ? jn要取遍所有n级排列. 元素ai j 列标 行标 1.3 n 阶行列式 下页 n 阶行列式定义 a11 a21 … an1 a12 a22 … an2 a1n a2n … ann … … … … (3) n 阶行列式共有n!项. (-1) τ(j1 j2 ? ? ? jn) . 之前的符号是 n 个元素的乘积. (1) 在行列式中,项 是取自不同行不同列的 行列式有时简记为| a ij |.一阶行列式|a|就是a. = 说明： 下页 (2) 项 在乘积 a14a23a31a44 a14a23a31a44 a14a23a31a42 a14a23a31a42 例如，四阶行列式 a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44 (-1)τ(4312) a14a23a31a42为行列式中的一项. 表示的代数和中有4!=24项. a14a23a31a42取自不同行不同列, 的列标排列为4312 所以它不是行列式中的一项. 中有两个取自第四列的元素， 下页 (为奇排列)， D = 行列式计算 解：根据行列式定义 例1．计算2