行列式按行列展开初步.PPTVIP

例如 行列式按行按列展开 一、余子式与代数余子式 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 叫做元素 的代数余子式． 例如 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 行列式按行（列）展开法则 定理 证明（分三步） 第一步 得 把D的第 i 行依次与 第i +1 行，第i +2 行, …, 第 n 行对调 为什么依次对调行 ？ 第二步 再把D的第j 列依次与第j+1 列，第j+2 列, …, 第n 列对调 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ． 例如 第三步 例1 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 代数余子式的重要性质 推论 证 用数学归纳法 例 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 n-1阶范德蒙德行列式 例４ 计算行列式 解 例 计算 阶行列式 解 将第 都加到第一列得 　用化三角形行列式计算 例 解 提取第一列的公因子，得 将第一列的-a1倍加到第2列， -a2倍加到第3列 ,…, - an 倍加到最后一列，得 本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐 步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般 尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）； 若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用 行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给 行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用 这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形 行列式之目的． 评注　 用降阶法计算 例６　计算 解 将行列式的第2、3、4行都加到第1行，并提取 第一行的公因子 按第一行展开得 把第二行加到第一行，再提取公因子得： 第二列减去第一列得 按第一行展开 本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列） 化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开， 每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续 进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开 成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列 式比较适用． 　评注　 用递推法计算 例 计算 解 拆分最后一列使得行列式等于两个行列式的和 由此递推，得 如此继续下去，可得 即 当 关于 的解法二 把第一行的 -1被加到第2、3、…、n行，得 这是一种典型的行列式,见P17 例10 当 时 当 时 设 证明递推公式： 例 设 求 例 例 求第一行各元素的代数余子式之和 设n 阶行列式 灵活运用行列式的按行或按列展开性质