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第 一 章 行 列 式 §1 二阶与三阶行列式 一、二阶行列式的引入 举例 P2例1.1，1.2 二、三阶行列式 三、小结 §2 全排列及其逆序数 一、概念的引入 二、全排列 三、排列的逆序数 §3 n 阶行列式的定义 一、 三阶行列式的结构 二、n 阶行列式的定义 行列式按行(列)展开定理 行列式按行(列)展开法则 举例 P4例子1.4，1.5，1.6 解: 例　计算行列式 例 计算上三角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 所以不为零的项只有 解 例 计算上三角行列式 解 例 同理可得下三角行列式 注意 上三角行列式和下三角行列式统称为三角行列式 一、余子式与代数余子式 二、行列式按行(列)展开定理 一、二阶行列式 二、三阶行列式 三、小结 用消元法解二元线性方程组 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行(row)、 竖排称列(column))的数表 1. 定义 即 aij 称为行列式(4)的元素或元. aij 的第一个下标 i 称为行标. aij 的第二个下标 j 称为列标. 行列式第 i 行第 j 列的元素 aij 称为行列式(4)的 ( i ,j ) 元. 主对角线 副对角线 对角线法则 2. 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 二元线性方程组的解为 注意 分母都为原方程组的系数行列式. 3. 则当系数行列式 1. 定义 记 （6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式. 对角线法则 2. 三阶行列式的计算 注意 红线上三元素的乘积冠以正号， 蓝线上三元素的乘积冠以负号． 说明 (1) 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． (2) 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项 为负. 三元线性方程组 称为其系数行列式 3. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 则三元线性方程组的解为: 若 例1 解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式 同理可得 故方程组的解为: 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的. 对角线法则 二阶与三阶行列式的计算 一、概念的引入 二、全排列 四、小结 三、排列逆序数 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 种放法. 共有 问题 定义 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）. 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示. 由引例 同理 如：12345，54321，43512均为5级排列 1. 由1,2,…,n-1,n（n个数）组成的一个全排列称 为一个n级排列。 如：12345，54321，43512均为5级排列 2. 123…(n-1)n(具有自然顺序的排列为)标准排列。 例如 排列32514 中， 在一个排列 中, 若数 则称这两个数组成一个逆序. 1. 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 (即：大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆序） 2. 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 例如 排列 32514 中， 3. 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 4.计算排列逆序数的方法 设排列为 为 构成的逆序数 则其逆序数为 例1 求排列 32514 的逆序数. 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的 奇偶性. 一、三阶行列式的结构 二、n 阶行列式的定义 三、小结 三阶行列式 说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积． （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 列标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 1. 定义