规划数学最优性条件及次规划.pptVIP

* * 第5章 有约束极值问题 最优性条件 （1学时） 二次规划 （1学时） 可行方向法 （1学时） 制约函数法 （1学时） 非线性规划软件求解简介 （1学时） 应用案例 （1学时） 最优性条件 二次规划 重 点：最优性条件，二次规划 难 点: 最优性条件及应用 基本要求：理解可行方向、下降方向、有效约束等概念， 掌握最优性条件，并会用其求解有约束极值问题，掌握 二次规划模型及求解方法，理解序列二次规划的原理和特点。 第9讲 最优性条件和二次规划 一、基本概念 1 起作用（紧）约束 是(I)的可行解，若 则称 为 处的起作用（紧）约束。记 处起作用（紧）约束的下标集 2 可行方向 记 或 时有 称 为 处的可行方向 为（I）或（II）的可行域 定义: 最优性条件（5.1） p 若 是 的任一可行方向，则有 3 下降方向 时有 称 为 处的下降方向 若 是 的任一下降方向，则有 若 既满足（1）式又满足（2）式则称 为 的下 降可行方向 定理1 为（I）的局部极小值点， 在 处可微， 在 处可微 在 处连续 则在 处不存在可行下降方向。即不存在向量 同时成立 判别条件 判别条件 定义: 二、最优性条件 1、Gordan引理 设 为 个 维向量，不存在向量P 使得 成立 的充要条件是存在不全为零的非负数，使得 成立 2、Fritze John定理 (3) 成立 1 (4) (5) (6) 3　Kuhn-Tucker条件 设x*是非线性规划（I）的局部极小点 有一阶连续偏导 而且X*处的所有起作用约束梯度线性无关， 则存在数 使得 （7） 成立 成立 （3） （7） 并令 即得 若x*是非线性规划(II)的局部极小点， 且x*点的所有起作用约束的梯度 和 线性无关。则存在向量 使得 （7） 其中 称为广义拉格朗日(Lagrange)乘子。 库恩—塔克条件是确定某点为最优点的必要条件，只要是最优点．且此处起作用约束的梯度线性无关。就必须满足这个条件。但一般说来它并不是充分条件，因而，满足这个条件的点不一定就是最优点。 对于凸规划，库恩—塔克条件不但是最优点存在的必要条件，它同时也是充分条件。 某非线性规划的可行解X(k)，假定此处有两个起作用约束， 若X（k）是极小点，则 必处于 的夹角之间， 否则，X（k）点处必存在可行 下降方向，它就不会是极小点。 如右图所示。 库恩—塔克条件的几何解释： 且其梯度线性无关。 三 举例 例１求 的极大值点。并验证其是否为K-T点。说明理由。 解： 1 如上图所示，阴影部分为可行域R，红色直线为目标函数的等值线。显然最大值点为（1，0）。 R 将原问题标准化 x1 x2 0 K-T条件 （1） （2） （3） （5） （4） （1）式为 代入上式，得： 故 不是K-T点。 的起作用约束为 线性相关 不是K-T点。 自己验证 是F-J点。 例2 用K-T条件，求解非线性规划 解：1 验证该问题为凸规划 原问题标准化为 半正定， 负定 是凸函数 是凹函数 故该问题为凸规划。 所以 2 求K-T点 该问题的K-T条件为 （1） （2） （3） （4） 是K-T点 (i) (ii) （5） 讨论 (iii) 将求出的 带入（6）式都不满足 故该问题有唯一的K-T点 即为极小值点， (iv) 二次规划的数学模型可表示为： 二次规划的数学模型变形为： （I） （II） 二次规划(5.2) 其中： 书中 为行向量 （III） 例1 求解二次规划问题（例5-3） 解：写出问题对应的矩阵形式如下： 这就形成了式（III）所需要 的全部信息： （III） 为解此方程组，引入人工变量R1 和R2，目标函数为max z=-R1- R2 对应的初始单纯形表见表5-1。