解析函数(修定).pptVIP

目 录 第二章 解析函数 内容提要：解析函数是复变函数研究的主要对象．在理论和实际问题中有着广泛的应用，本章在介绍复变函数导数的概念和求导法则的基础上，着重讲解析函数的概念，判别方法及重要性质． 第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念 2.2 解析函数和调和函数的关系（不讲） 2.3 初等函数 本章小结 思考题 第一节 解析函数的概念 一、复变函数的导数与微分 二、解析函数 第二节 解析函数与调和函数关系（不讲） 平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是一种特殊的二元实函数，即所谓的调和函数，它们都与某种解析函数有着密切的关系．下面给出调和函数的定义． 第三节 初等函数 本节将把实变函数中的一些初等函数推广到复变函数中，研究它们 的性质，并讨论它们的解析性． 六、双曲函数和反双曲函数（不讲）  例2． 解：用不定积分法 凑x+iy形式 例3． 解： 为什么与积分路径无关？ 一、指数函数(p41) 1.定义： 2．性质： 0、有关知识回顾： (证明见后) 证明（2）： 例1． 解：据指数的定义，有 例2． 解：因为 二、三角函数 p(47) 0．有关知识回顾： 两式相加与相减，分别得： 1、三角函数定义 p(47) (1) 实变量三角函数的性质 (2) 解析拓广 (3) 欧拉公式 2、性质 3、三角公式 例3、计算： 例4．求下列方程的解 解： 三、对数函数(p43) 与实变量函数一样，对数函数的定义为指数函数的反函数． 1.定义： 2、几点说明： 注: Lnz的分支（p43） 例5． 解： 3．性质： 注意： 解析。 注： 四．幂函数(p45) 定义： 注1：规定当 a 为正实数且 z = 0 时， 注2： 是无穷多值函数。 注意：(2),(3),(4)中的函数均为多值函数，它们的 例6． 解： 五、反三角函数（不讲或介绍） 1．双曲函数 * * 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 解析函数的级数表示 第五章 留数及其应用 第八章 傅立叶变换 第九章 拉普拉斯变换 第一章 复数与复变函数 1．导数定义 (p30) 说明： 例1． 解： 例2(p31) 在全平面内处处没有导数。 证明: 例3．(p31) 证明: 在 z = 0 点可导，且导数等于零，而在其余的点不可导。 例4． 解： 2．可导与连续关系（介绍） 从例2从可以看出： 结论： 证明： 由导数的定义可知 3．求导法则 (p32) 结论：由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数 在形式上完全相同，而且极限的运算法则也一样，因而 实函数中的求导法则可推广到复变函数中去． 4．微分的概念 (p30) 复变函数的微分在形式上与一元实函数的微分概念一样，因此类似有： 证明： 在复变函数理论中，重要的不是只在个别点可导的函数，而是在 区域D内内处处可导的函数，即解析函数． 1．解析函数的概念 注意： （1）函数在区域内解析与在区域内可导是等价的； （2）函数在一点处解析和可导是两个不等价的概念，即在一 点处可导不一定在该点解析； 例5． 解： 所以在整个复平面处处解析．（见例1） 所以在整个复平面处处不解析．（见例4） 函数在复平面上处处不解析.（见例3） 2．函数解析的条件 定理1：(p33） 证明： 必要性 且沿平行于实轴方向： 沿平行于虚轴方向： 充分性 导数的计算公式（p34）： 定理2(p34):函数 注2：函数在区域解析的一个充分条件： 例1． 讨论下列函数的可导性和解析性(p35) 解： 注1： 这个函数特点：其导数是本身，今后看到这个函数就是复变函数中的指数函数． 结论1：在区域D内解析函数的和、差、积、商（除去分母为0的点）在D内解析 结论2：设函数． 特别地：任何有理分式函数 例2． 解： 例3． 解： 例4．(p35了解) 证明： 例5． 证明*： 由复合函数偏导数求法知： 在复平面内解析， 例6：设 求： 例7*． 证明： 下面分两种情况讨论： 因为由隐函数求导法知： 此时知曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的，它们依然 互相正交． 作业：练习册2.1解析函数的概念 一、调和函数的概念 定义1： (调和函数) 定理1：设函数 证明： 解析函数有任意阶导数，并且解析函数的导数仍是解析函数. 二、共轭调和函数 定义2：(共轭调和函数) 定理2：复变函数