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计算力学 Computational Mechanics (1)  哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院 王滨生 E-mail: wang_bs@126.com 基本内容 前言 有限元法引论 有限元法引论 有限元法引论 有限元法引论 有限元法引论 有限元法引论 有限元法引论 有限元法引论 有限元法引论 有限元法引论 * heu.tulixue@163.com 当前科学研究手段：理论研究、实验研究、仿真研究；(余德浩. 有限元、自然边界元与辛几何算法) 计算力学可简单定义如下：计算力学是讨论近似分析、求解复杂工程技术和应用科学问题的各种计算机数值方法的课程。 计算力学的基本任务可归结为：连续问题离散化的方法；离散问题的求解步骤。 国内大学计算力学课程设置简介 有限元的发展 R. W. Clough、冯康 直观有限元法 直观地使用节点连接离散构件来逼近连续结构，并利用结构力学中的位移法或力法建立有限元计算格式。这种方法就叫直观有限元法，或简称直接法。 有限元法引论 令u1和v1分别表示点1沿x和y方向的位移分量，当使点1分别沿x、y方向移动单位位移时，桁架各杆所产生的内力沿x、y方向的分量分别记为 直接法，例 对节点1，有 当 时 当 时 桁架在己知外力作用下，即在Px，Py的作用下，点1的实际位移分量为u和v，由点1的平衡条件，得 有限元法引论 推广 力学能量原理 工程实际中的很多固体力学问题可归结为两种描述：微分方程和能量原理。 系统的能量极值原理，或变分原理指出：在所有满足内部连续条件和运动学边界条件的位移中，满足平衡方程的位移使体系的总势能取驻值。如果驻值是极小值，则平衡是稳定的，反之则不稳定。 设系统有n个自出度，即有n个广义坐标，相应的n个广义位移用u1、u2、……、un表示，则系统的总势能可表示为广义位移的函数 势能的变分为 总势能取驻值，则有 由于可能位移{?u}是任意的，不全为0，要满足上式则必须是式中的系数都等于零，即 有限元法引论 例：考虑图示两个自由度系统．设横梁为不计重量的刚体，两根支承弹簧的弹性系数分别为k1和k2，建立在力P作用下横梁的平衡方程。 取位移u和转角q为系统的广义位移 从图可知系统的 变形能为 外力功为 系统的势能为 求变分 对于复杂系统很难写出势能的显式，但任意弹性系统的势能，总可以用六个应力分量和六个应变分量 系统内任一点的位移分量记为 当系统的体积元发生微小变形{De}时，应力变为{s+Ds}，其单位体积的应变能增量(应变能密度的增量)为 积分，可得应变能密度式为 设系统单位体积上的体积力为 设系统边界上的表面力(单位面积上的表面力)为 则，系统的势能为 数学变分法简介* 变分法是有限元法和能量法的数学基础之一，因此，变分法是有限元法的预备知识。 泛函的概念 过A，B两点的曲线的长度为 泛函的定义 从上例，如果对于某一族函数y(x)中的每一个yi(x) ，?有一个值与之对应，如果变量?对于函数y(x)的关系成立，那么，变量?叫做依赖于函数y(x)的泛函，记为P[y(x)]，简言之，泛函是函数的函数（但不是隐函数）。 y(x)也叫泛函?的宗量。 变分问题与变分法 凡有关求泛函极大值和极小值的问题，都叫做变分问题 求泛函极大植和极小值的方法叫做变分法。 泛函极值判定条件 设有一泛函P[y(x)] ，其一阶变分为dP，二阶变分为d2P，其取极值的条件与函数取极值的条件相似，即 当dP=0时，?取极值。 若同时：d2P0时，?取极小值；d2P0时，?取极大值。 变分的计算方法 微分与变分能够互调： 积分与变分能够互调：设 ，则 变分法的基本预备定理 如果函数F(x)在线段[x0,x1]上连续且对于只满足某些一般条件的任意的函数h(x)有 则在线段[x0,x1]上 小结 1.余德浩. 有限元、自然边界元与辛几何算法[J]. 举例：98年哈建大 举例，薛东焱的上海闵浦大桥 3.1943年当代分析大师牛津大学的库兰特