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模糊数学的基本概念 模糊数学的基本概念 1、模糊集和隶属函数 定义 1 论域X 到[0,1]闭区间上的任意映射 μ A ： X →[0,1] x →μ A (x) 都确定 X 上的一个模糊集合A ， μ A叫做A的隶属函数， μ A(x) 叫做x 对模糊集A 的隶属度，记为： A ={(x, (x)) | μ A(x) ∈ X} 使 μ A(x) = 0.5 的点 x 0称为模糊集A 的过渡点，此点最具模糊性。 模糊集合的表示方法 当论域 X 为有限集时，记X={x 1, x 2,… x n } ，则X 上的模糊集A有下列三种常见的表示形式： Zadeh表示法 (查德) 当论域 X 为有限集时，记X ={x 1, x 2,… x n } ，则X 上的模糊集A可以写成： 注：“ Σ ”和“+”不是求和的意思，只是概括集合诸元的记号；分数 它表示点 x i对模糊集A的隶属度是μA( x i )。 模糊集合的表示方法 (2)序偶表示法 (3)向量表示法 当论域 X 为无限集时， X 上的模糊集A 可以写成 模糊集合运算定义 模糊集合是利用集合中的特征函数或者隶属度函数来定义和操作的，A、B是U中的两个模糊子集，隶属度函数分别为 。 定义2-1 设A、B是论域U的模糊集，即 若对于任一 都有 ，则称B包含于A，或者称B是A的一个子集，记作 。若对于 任一都有 则称B等于A，记作 。 模糊集合运算定义 定义2-2 并集：并 的隶属度函数 对所有 的 被逐点定义为取大运算，即 式中，符号 为取极大值运算。 定义2-3 交集：交 的隶属度函数 对所有的 被逐点定义为取小运算，即 式中，符号 为取极小值运算。 模糊集合运算定义 定义2-3 补：模糊集合A的不隶属度函数 ，对所有的 ，被逐点定义为 。 例2-1 设论域中的两个模糊子集为： 则 模糊集合运算图示 模糊集运算的基本定律 定理2-1 模糊集运算基本定律：设U为论域，A、B、C为U中的任意模糊子集，则下列等式成立： （1）幂等律 （2）结合律 （3）交换律 （4）分配律 （5）同一律 （6）零一律 （7）吸收律 （8）德.摩根律 （9）双重否认律 模糊集的截集 从模糊中寻找确定，“矬子里选将军” 定义：设Aλ∈F(U), λ∈[0,1] 则： (1) 称Aλ为A的一个-λ截集，称λ为阈值（或置信水平）。 (2) 称Aλ为A的一个-λ强截集。 (3) SuppA={u|u∈U, A(u)0} ，A的支集 KerA={u|u ∈U,A(u)=1} ，A的核。 当A的核不空，称A为正规F集。 λ截集、核、支集图示 隶属函数确定原则（1） 模糊集合是用隶属函数来描述的 模糊集合的特征函数称作隶属函数 隶属度函数实质上反映的是事物的渐变性 隶属函数确定原则 （1）表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合。 例如“速度适中”的隶属度函数——在一定范围内或者一定条件下，模糊概念的隶属度具有一定的稳定性——从最大的隶属度函点出发向两边延伸时，其隶属度函数的值必须是单调递减的，而不许有波浪性——总之，隶属度函数呈单峰（凸模糊集合）——一般用三角形和梯形作为隶属度函数曲线。 凸模糊集合的图示 凸模糊集合的定义 在论域U中，存在两个元素x1，x2，在隶书度函数取值域[0，1]中，存在一个λ，满足下列关系式： μA(λx1+(1-λ)x2)≥min(μA(x1), μA(x2)) 称这样的模糊集合为凸模糊集合。 例2-2：考察下列模糊集合是凸模糊集合吗？ 隶属函数确定原则（2） （2）变量所取隶属度函数通常是对称、平衡的。 模糊变量的标称值选择一般取3~9个为宜，通常取奇数(平衡)，在“零”、“适中”或“合适”集合的两边语言值通常取对称(如速度适中，一边取“速度高”，一般另一边取“速度低”，满足对称)。 例2-3：在整数U={1，2，…，10}组成