讲 对偶理论.pptVIP

Chapter 1 引例：经营策略问题。甲工厂有设备和原料A、B 这些设备和原料可用于Ⅰ、Ⅱ两种产品的加工，每件产品加工所需机时数，原料A、B消耗量，每件产品的利润值及每种设备的可利用的机时数如下表。现在乙厂和甲厂协商，打算租用甲厂的设备购买资源A和B 。问甲厂采取哪种经营策略，是自己生产产品还是出租设备、出让原材料？如果出租设备、出让原材料，在和乙厂协商时出租设备和出让原材料A,B的底价应是多少？ 设y1 ,y2和y3分别表示出租单位设备台时的租金和出让单位原材料A,B的附加额 1.5.1 原问题与对偶问题的关系(对称形式) 标准(max,?)型的对偶变换 目标函数由 max 型变为 min 型 对应原问题每个约束行有一个对偶变量 yi，i=1,2,…,m 对偶问题约束为 ? 型，有 n 行 原问题的价值系数 C 变换为对偶问题的右端项 原问题的右端项 b 变换为对偶问题的价值系数 原问题的技术系数矩阵 A 转置后成为对偶问题的技术系数矩阵 原问题与对偶问题互为对偶 对偶问题可能比原问题容易求解 对偶问题还有很多理论和实际应用的意义 原问题与对偶问题的结构关系 原问题与对偶问题中的目标函数的优化方向相反（前者为极大，后者为极小） 原问题的每个约束条件对应于对偶问题的一个决策变量，且约束条件的资源系数（右端的常数项）为相应决策变量的价值系数 原问题的每个决策变量对应于对偶问题的一个约束条件，且决策变量的价值系数为相应约束条件的右端常数项 对偶问题中的系数矩阵为原问题中的系数矩阵的转置 原问题约束条件中的小于等于符号对应于对偶问题中的对偶变量取非负约束，原问题中决策的对偶问题非负约束在对偶问题中体现为相应的约束条件取大于等于符号 非标准型的对偶变换 对偶变换的规则 弱对偶定理推论（性质3 无界性） 如果原(对偶)问题为无界解，则其对偶(原)问题无可行解 当原问题(对偶问题)为无可行解,其对偶问题(原问题)或具有无界解或无可行解 例4 (3)强对偶性 (4) 对偶定理 若原问题和对偶问题两者皆可行,则两者均有最优解,且此时目标函数值相等. 第2部分:证明有相同的目标函数值 设 为原问题的最优解 对偶定理推论 根据对偶定理第2部分的证明,可以得出:若互为对偶的线性规划问题中的任一个有最优解,则另一个也有最优解,且目标函数值相等. 综上所述,一对对偶问题的解必然是下列三种情况之一: 原问题和对偶问题都有最优解 一个问题具有无界解,另一个问题无可行解 原问题和对偶问题都无可行解 (5)互补松弛定理（性质6） 例5： (6)原问题单纯形表检验数行与对偶问题解的关系（性质7） 原问题单纯形表检验数的相反数对应对偶问题的一个基解.显然,原问题最终单纯形表检验数的相反数对应对偶问题的一个基可行解 证：标准化后的原问题和对偶问题的表达式为： 原问题解为XB=B-1b ， 结论： 原问题的最优解为:Z*=CBB-1b=CX*=Y*b σN= CN-CBB-1N， Z=CBB-1b 对偶问题的约束条件： 0 检验数： σB= CB-CBB-1B=0， σN= CN-CBB-1N， σS=CBB-1 原问题单纯形表检验数行与对偶问题解的关系 单纯形表中的检验数行和对偶问题的解仅差一个符号 yi等于原问题的第i个方程中的松弛变量所对应的检验 数的负数 单纯形法迭代时，原问题解为基可行解，相应的检验数对应对偶问题的一个解，在原问题没有得到最优解之前，对偶问题的解为非可行解 基可行解 基可行解 非可行解 基可行解 目标函数 对偶问题 原问题 无可行解 无界解 原问题为可行解时，对偶问题不一定有可行解，当原问题为最优解，对偶问题一定有最优解 对偶问题的经济解释---影子价格 z=CX=CBB-1b+σNXN =CBB-1b σN= CN-CBB-1N Y=CBB-1为单纯形乘子 当b为变量的情况下,当bi发生变化: yi的经济意义是：在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化.yi是bi的一种估价,估价是有条件的替代方案. 1.5.3 对偶单纯形法 单纯形法 原问题基可行解，对偶问题基解（非可行解） 原问题基可行解，对偶问题基可行解 …. 原问题基可行解，对偶问题基可行解 原问题基解，对偶问题基可行解 …. 对偶单纯形法 例1-21 用对偶单纯形法求解下述LP问题 解：引入松弛变量转换成如下的标准形式： 《运筹学》 第二章 对偶理论和灵敏度分析 第1章 线性规划 线性规划模型及单纯形法 （2学时） 单纯形法续（2学时） 对偶理论 （2学时） 灵敏度分析及整数规划