讲SL问题与分离变量法.pptVIP

一、本征值问题 本征值问题 本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值 本征函数：相应的非零解 本征值问题：求本征值和本征函数的问题 斯特姆—刘维尔本征值问题 斯特姆—刘维尔型方程 斯特姆—刘维尔型边界条件 斯特姆—刘维尔本征值问题的性质 可数性：存在可数无限多个本征值； 非负性：所有本征值均为非负数； 正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交； 完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。 斯特姆—刘维尔本征值问题 斯特姆—刘维尔型方程 典型的斯特姆—刘维尔本征值问题 本征函数系的正交性和完备性 典型例题 二、拉普拉斯算符的形式 极坐标下拉普拉斯算符形式的推导 三、二维区域上波动方程的分离变量法 例：设边界固定, 均匀且柔软的矩形膜, 其长为 , 宽为 ， 作微小横振动, 初始位移为 , 初始速度为 . 求此膜作自由振动的规律 。 其中 为分离常数, 记 . 从而得到关于的常微分方程 求得特征值和对应的特征函数为 记 其中系数 下面, 我们利用初始条件确定系数 四、拉普拉斯方程定解问题分离变量法 例：设一半径为 的薄圆盘, 上下两面绝缘, 圆周温度分布已知. 求稳恒状态下圆盘内的温度分布. 解 ：求温度分布规律, 就是解下列边值问题 我们考虑作极坐标变换, 则边值问题可化为 设 代到定解问题的方程中，得 当 时 , 只有零解; 当 时, 有非零解 ， 下面求解第二个特征值问题 * * 其中k(x)、q(x)和ρ(x)都非负； k(x)、k’(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。 斯特姆—刘维尔型边界条件 周期性边界条件 三类齐次边界条件 有界性边界条件 b 1 L L b 本征值问题 1 0 1 0 x m2/x x 0 1 0 1-x2 -1 1 0 1 0 ρ q k a 正交性 完备性 展开系数 例题1、特征值问题 特征函数 正交性 完备性 例题2、特征值问题 特征值和征函数 正交性 完备性 球坐标 极柱坐标 直角坐标 三维 二维 极坐标下的形式 直角坐标下的形式 坐标变换关系 微分变换关系 设 为膜的位移, 则上述物理问题可归结为求解下列定解问题： 解：设 代入方程得： 由边界条件, 得 因此得特征值问题 类似地, 我们得到 以及关于 的特征值问题 其特征值和对应的特征函数为 其通解为 于是得到 利用叠加原理, 得到原定解问题的形式解 ，代入关于T的方程，得： 因为 由三角函数 在矩形区域 上的正交性, 得 其中 由于区域为圆域, 不能直接分离变量。 （*） 由于圆盘内温度不可能为无限, 特别圆盘中心 温度也一定有限, 所以有自然条件 又因为在极坐标中, 与 表示同一点, 故 其中 有周期条件 因此有 于是得到两个特征值问题 由自然条件和边界条件得 和 （1） （2） 先求解第一个特征值问题 当 时, 特征值问题(1)中方程的通解为 由周期性条件 得 故得特征值和对应的特征函数 第二个特征值问题中的方程是欧拉方程, 当 时, 其通解为 当 时, 其通解为 由 的有界性, 推得 所以 于是得到满足边值问题中方程与自然条件和周期 条件的一列非零解 其中 根据叠加原理, 可设满足定解问题(*)中方程的形式解为 代入(*)中的边界条件, 得 上式可以看作 在 上的傅里叶展开式, 所以