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第10讲 信号的频域分析02 p * 信号与系统 Signals and Systems 参考教材： 北京市精品教材《信号与系统》 陈后金，胡健，薛健 清华大学出版社，2003年 信号的频域分析 连续周期信号的频域分析 连续非周期信号的频谱 常见连续时间信号的频谱 连续时间Fourier变换的性质 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析 连续周期信号的频域分析 周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱 连续周期信号的频域分析 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。 意义： 三、周期信号的频谱及其特点 1.?频谱的概念? 周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和 Fn是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。 不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Fn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 三、周期信号的频谱及其特点 2.?频谱的表示? 直接画出信号各次谐波对应的An、 Fn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。 幅度频谱 相位频谱 例1 周期矩形脉冲信号的频谱图 例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出实数形式的Fourier级数。 解： 由图可知 三、周期信号的频谱及其特点 3.?频谱的特性? 1) 离散频谱特性 周期信号的频谱是由间隔为w0 的谱线组成的。 信号周期T越大，w0就越小，则谱线越密。反之，T越小，w0越大，谱线则越疏。 三、周期信号的频谱及其特点 3. 频谱的特性 2) 幅度衰减特性 当周期信号的幅度频谱随着谐波nw0增大时，幅度频谱|Fn|不断衰减，并最终趋于零。 若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。 f(t)不连续时， Fn按1/n的速度衰减 f’(t)不连续时，Fn按1/n2的速度衰减 三、周期信号的频谱及其特点 3. 频谱的特性 3) 信号的有效带宽 0~2? /? 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即 信号的有效带宽与信号时域的持续时间?成反比。 即? 越大，其wB越小；反之，??越小，其wB 越大。 物理意义：若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。 说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。 三、周期信号的频谱及其特点 4.?相位谱的作用? 幅频不变，零相位 幅频为常数，相位不变 四、周期信号的功率谱 ? 物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。 ? 周期信号的功率频谱： |Fn|2 随nw0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。 帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理 例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2p /t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，?=1/20。 解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为 将A=1，T=1/4，? = 1/20，w0= 2p/T = 8p 代入上式 例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2p /t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，?=1/20。 解： 包含在有效带宽(0 ~ 2p /t )内的各谐波平均功率为 信号的平均功率为 周期信号的功率谱 例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2p /t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，?=1/20。 例4 求f (t)的功率。 解： 1) 2) 吉伯斯（Gibbs）现象 用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且 为跳变值的9% 。 吉伯斯现象产生原因 时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。 N=5 N=15 N=50 N=500 吉伯斯（Gibbs）现象 ?分析问题使用的数学工具为傅里叶级数 ?最重要概念：频谱函数 ?要