讲向量组及其线性组合.pptVIP

思考题 思考题解答 ２．向量的表示方法：行向量与列向量； ３． 向量空间： 　　解析几何与线性代数中向量的联系与区别、 向量空间的概念； ４． 向量在生产实践与科学研究中的广泛应用． 小结 １． 维向量的概念，实向量、复向量； 　　１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； 　　２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） 　　３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点） §1 向量组及其线性组合 定义： 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 一般地， 如， n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量 二、n 维向量的表示方法 通常用　　　　　　等表示， 通常用　　　　等表示， n维向量写成一列，称为列向量， 1 即为列矩阵， 如： 2 n维向量写成一行，称为行向量， 即为行矩阵， 如： 注： 10 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； 20 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算； 30 当没有明确说明是行还是列向量时，都当作列向量. 如， 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 如， 三、向量组及其线性组合 1. 向量组的定义 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个向量所组成的向量组可构成一个矩阵。 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 注： 定义1： 2. 向量组的线性组合 （1）单个向量与向量组 定义2： 注： 定义： （2）向量组与向量组 表示方法： 从而 注： 结论： 推论： 定理： 特例： 1 2 §2 向量组的线性相关性 注： 定义： 一、线性相关性的概念 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 证明： 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示. 即有： 二、线性相关性的判定方法 定理1：向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 故 因 这 个数不全为0， 故： 线性相关. 必要性： 设 线性相关， 则有不全为0的数　　　　　　使 因 中至少有一个不为0， 不妨设　　　 即 能由其余向量线性表示. 则有： 定理3： 定理2： 定理： 三、线性相关性的重要性质 解： 例１ 注： 任一向量 证明　（１）、（２）略． （３）充分性 必要性