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6. 曲线曲面基础-1 6. 曲线曲面基础-1 6.2 曲线曲面发展历程 6. 曲线曲面基础-1 曲线曲面的参数表示 参数表示优点 参数表示优点（续） 有关基本概念介绍 6. 曲线曲面基础-1 Bezier曲线 三次Bezier曲线 三次Bezier曲线性质 三次Bezier曲线实例 Bezier曲线的计算及绘制 Bezier曲线几何作图与分割特性 Bezier曲线拼接 Bezier曲线的不足 6. 曲线曲面基础-1 B样条曲线 均匀三次B样条曲线 均匀三次B样条曲线的程序实现 均匀三次B样条曲线的几何意义 均匀三次B样条曲线的几何作图 B样条曲线性质 B样条曲线的拼接 B样条曲线的反算 B样条曲线与Bezier曲线的比较 6. 曲线曲面基础-1 NURBS曲线 本章思考题 6.1 认识曲线与曲面 6.2 曲面造型的发展历程 6.3 曲线曲面的参数表达 6.4 Bezier曲线 6.5 B样条曲线 6.6 NURBS曲线 n+1个控制点Pi(i=0,1,…,n)构成特征多边形的顶点，k+1阶(k次) B样条曲线的表达式是： 其中Ni,k(u)是调和函数，也称为基函数，按照递归公式可定义为： un+k+1 u0 u1 un+k 式中：U = [ u0 , u1 , …… , un+k , un+k+1 ]称为B样条基函数的节点向量， ui 为节点值，且应满足ui ? ui＋1，即节点值应满足有序递增（允许有重节点）。 由于B样条曲线比较复杂，为分析的方便性，本文先以均匀三次B样条为例进行分析，其节点矢量等距分布(即ui＋1－ui＝常数)。 前面的B样条基函数可展开为： 空间n+1个控制顶点Pi（i=0，1，……，n）可构造n－2段三次（k＝3，四阶）均匀B样条曲线段，每相邻四个点可定义一曲线段Pi(u)，（i=1， …… ，n－2）。 式中u＝[0,1] 如任意四个顶点Pi、Pi+1、Pi+2、Pi+3作为特征多边形构造的均匀三次B样条曲线段的方程Pi(u)可表达式为： 式中：u∈[0,1] 由前面可导出如下公式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 i 2 i 1 i i 1 i 3 i i 3 i 2 i 1 i i P 2P P 1 p P P 2 1 1 p P 4P P 6 1 1 p + + + + + + + + + - = - = + + = (1)曲线起点位于以PiPi+1和Pi+1Pi+2为两邻边的平行四边形的对角线的1/6处。 (2)起点的切矢与Pi+2Pi平行，模为 ||Pi+2-Pi||/2。 (3)起点的二阶导矢是以PiPi+1和Pi+1Pi+2为两邻边的平行四边形的对角线方向。 (4)曲线段末点的情形与上述三点类似，只是向前推移一个顶点。 由前面的推导可知，第一段曲线的末点与第二曲线的首点满足满足二阶函数连续。 依次类推，各曲线段的末点与下一个曲线段的首点均满足满足二阶函数连续，这是B样条曲线的优势之一。 因此采用B样条曲线直接能够构造光滑的复杂曲线。 Pi＋4 Pi＋5 根据B样条曲线起点和终点的位置、起点和终点的切矢方向即可近似的几何作图。 四点共线 二重顶点 三重顶点 1.对称性 将控制顶点反序仍可得到同样形状的曲线。 Q0 Q4 Q5 Q8 Q1 , Q2, Q3 Q6 , Q7 2.凸包性 即B样条曲线不越出特征多边形顶点所围成的凸包（如图中阴影所示）。 Pi＋4 Pi＋5 B样条曲线具有局部性质。 对均匀三次B样条曲线任意段修改时，只被相邻的三个顶点控制，与其它的控制点无关。 换句话说，每段k次B样条曲线只涉及k＋1个基函数，并由k＋1个顶点所定义。 如图，当修改P5时，只影响P2至P8之间的四条样条段(A至B)，对其它段则不产生影响。这一特点对曲线的设计和修改非常有利。 连续性 均匀三次B样条曲线段连接处具有二阶连续性。一般来说，k次B样条曲线具有k－1阶函数连续性。 由前面的作图过程可知，当出现重复控制顶点时，曲线几何连续性可能下降（但函数导数仍连续），甚至产生尖点。 当节点矢量出现重复节点时，在其重节点处曲线连续性将逐次下降。如当在P2处为二重节点时，连接处为一阶连续，而当P2为三重节点时，导数不连续，此时将出现尖点。 5.造型的灵活性 性质4的特点说明，只要灵活选用控制点的位置和节点的重复数，可以获得特殊要求的曲线段。 由： 得： 对于开曲线，则首末点边界切矢可由用户随意交互给定 对于封闭曲线，则首末的位置相同，且边界切矢方向相同 边界条件补充时应注意： 1、Bezier曲线的基