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* 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 高 等 数 学 A（1） 第一讲 集合与映射 授课教师：彭亚新 第一章 集合与函数 本章学习要求： 正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。 掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的 分析表示和图形特征。 正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复 合函数进行分解。 会求函数（包括分段函数）的反函数。 了解“取整函数”和“符号函数”。 能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。 第一节 集合与映射 一、集合的基本概念 二、集合的基本运算 三、映射的基本概念 四、实数、区间、邻域 康托尔将集合定义为： 所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间 有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一 个整体来考虑的结果。 1. 集合 一、集合的基本概念 2. 集合的表示法 列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用 花括号括上。 表示集合的方法有两种: 注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。 3. 子集、集合相等 规定：空集是不含任何元素的集合，记为?。 空集是任何一个集合的子集： 4. 有限集、无限集： 含有有限个元素的集合称为有限集； 含有无限个元素的集合成为无限集。 二、集合的基本运算 在wen图中，用矩形表示全集。 1. 集合运算的概念 A B A A B B (A – B) ∪ B = A? 一般说来, A B 交换律 结合律 分配律 对偶律 2.集合的运算性质 幂等律 吸收律 1. 实数集与数轴 实数集为有理数集与无理数集的并. 实数具有稠密性和连续性. ?a?R，必 ? n ?Z，使 n ? a n+1. 实数与数轴上的点一一对应. 三、实数、区间、邻域 2. 绝对值、距离 任一实数 a 的绝对值 | a | 定义为： 数轴上任意两点 a，b 之间的距离为 d = | a ? b | 。 3. 区间 (1) 闭区间 [a, b] = { x | a ? x ? b } a b (2) 开区间 (a, b) = { x | a x b } a b 。 。 [ ] ( ) (a, b] = { x | a x ? b } (称为左开右闭区间) [a, b) = { x | a ? x b } (称为右开左闭区间) (3) 半开闭区间 a b 。 [ ) (4) 无穷区间 [a, +?) = { x | x ? a }, (a, +?) = { x | x a }, (? ? , b] = { x | x ? b }, (? ? , b) = { x | x b }, (? ?, +? ) = { x | ? ? x + ? }= { x | x?R } a (+?) [ [a, +?) (5) 区间长度 有限区间的长度 = 右端点值－左端点值 不论是闭区间、开区间、半开闭区间， 其长度计算均按此式进行。 所有无穷区间的长度 = +∞ U( x0 , ? ) = { x | | x ? x0 | ? , x? R , ? 0 } x0+? ( ) x0 ? ? x0 x? U( x0 , ? ) | x ? x0 | ? 4. 邻 域 ?( x0 , ? ) = { x | 0 | x ? x0 | ? , x? R , ? 0 } x0 + ? ( ) x0 ? ? x0 x? ? ( x0 , ? ) 0 | x ? x0 | ? 点 的某邻域， 记为 U(x0) . 点 的某去心邻域， 记为 ? (x0) . U ( 3, 0.1 ) = ( 3 ? 0.1, 3 + 0.1 ) 点 x0 = 3 的 ? = 0.1 邻域为 点 x0 = 3 的去心 ? = 0.1 邻域为 ? ( 3, 0.1 ) = ( 2.9, 3 ) ( 3, 3.1 ) = ( 2.9, 3.1 ) 例1 四、映射的基本概念 1. 映射 注意： 1) 映射是集合间的一种对应关系. 集合 X 、Y 中所含的元素不一定是数，可以是其它的一 些对象 ( 或事物 )。 2) 对每一