讲间接效用函数与支出函数D.pptVIP

第二讲间接效用函数与支出函数 Outline of Today’s Class 1.间接效用函数 2.罗伊（Roy identity）等式 3.支出最小化问题 4.支出函数 5.希克斯（补偿）需求函数 6.谢泼特（Shephard）引理 7.效用最大化与支出最小化的关系 8.斯卢茨基方程 9.替代效应与收入效应 第二节 支出函数 §1.6 斯卢茨基方程 二. 替代效应与收入效应 (一)替代效应:由商品价格的变动起的商品相对价格的变动,进而由其导致商品需求量的变化. (二)收入效应：由商品价格变动所导致的实际收入水平变动,进而导致商品需求量的变动。 2.对于低档商品 收入效应〉0，符号不定，大致可分为两种情况： 其一，若收入效应的绝对值小于自替代效应的绝对值，斜率为负，即普通需求曲线是向右下方倾斜的。 其二，若收入效应的绝对值大于自替代效应的绝对值，斜率为正，即普通需求曲线是向有上方倾斜的，属吉芬商品。 消费者行为理论小结 1.偏好作为个人选择的基础和出发点. 2.建立偏好与效用函数的相互对应，便于数学分析. 3.个人选择问题理论上抽象为效用最大化问题。 4. 效用最大化的均衡条件： 商品的边际替代率=边际交换率 5.引入普通需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数和支出函数等概念，讨论它们之间关系.从某种程度上是对个人选择问题讨论的深化。斯卢茨基方程的导出是这种讨论深化的具体体现。 一.方程及其推导: 证明： 两边对pi微分 (1) 由谢泼特引理知 且 即 代入(1)式变形即可得 + - + - 替代效应 收入效应 x2 x1 替代效应 收入效应 - - + - x2 x1 x’1 X1’’ x1’’’ 替代效应 收入效应 三.关于普通需求曲线的斜率 在斯卢茨基方程中令i=j得 所以 1.正常商品。从而收入效应 价格tp下，支出最小为e(tp,u) (三) 是关于P的凹函数 即 有 证：设 则 三.谢泼特（Shephard）引理 为希克斯函数 的第i个分量 证明： 两边对pi求偏导 在最小化的过程中 最小化的一阶条件： 四、效用最大化与支出最小化的关系 命题1.设 的解，则 x*也是(M2)的解。 命题2. 设 的解，记 则x*也是（M1）的解 五、重要等式 （一） 证：设x*为 在 时的解， 则其必为 的解，故 即要想获得最大效用 必定要花掉所有的收入 （二） 证：设x*为 时 M1的解，故 又x*必为M2的解，故x*满足 所以 即花掉所有收入的效用最大 （三） （四） 偏好 EMP UMP 六、例题 例2（P22） 七、预算份额 Si=pixi/m 习题1 * 一、定义 瓦尔拉斯定律 第一节间接效用函数 ①它是极大化了的效用 ②它的自变量不是消费计划， 而是价格与收入 ③控制消费者行为， 可以间接地控制p、m来实现 二、性质 （一） v（tp,tm）=v（p,m）(t0) 即它是关于p,m的零次齐次函数 （二） 证：记 （三） 证：记 （四）罗伊（Roy identity）等式： 如果 则 证明： ①先求分子 （最大化一阶条件） 同时 即 两边同时对pj偏微分 故 （1） ②再求分母 对m求偏微分 又 两边对m求微分 由（1）、（2）可得 例，设 比较政府征收0.5元的所得税 与0.5元的商品税对消费者效用 的影响。 三、应用 解： 的解为 故 时 现在假设政府对商品1按0.25元/单位征收消费税，即 由0.25元变为0.5元从而 政府获得税金总额为 如果政府征收同等额度的所得税即 则 所以 征收所得税 比商品税对消费者的影响要小 一、支出最小化问题 （一） （二） 希克斯（补偿）需求函数 （M2）的解x与p，u有关， 即是p，u 的函数，这一函数称为 希克斯需求函数，记为 （三）支出函数 二、支出函数的性质 （一）若 则 证： （二）. 证： u 不变，给定p时，支出最小为ph(p,u) *