曲线积分与曲面积分复习课件.ppt

* 第十章 曲线积分与曲面积分 习题课（三） 对面积的曲面积分（第一型曲面积分） 一、对面积的曲面积分的定义 1．定义: 2．物理意义: 二、对面积的曲面积分的定义 1. 线性性质： 2. 可加性： 的曲面 的质量。 表示面密度为 3. 的体积： 若 在上， ，则 三、对面积的曲面积分的计算方法 方法：化为二重积分计算 (1) 若 ， 。 4. 单调性： 关键：确定二重积分的积分变量 (2) 若 ， 。 (3) 若 ， 。 四、对面积的曲面积分的解题方法 计算第一型曲面积分的基本方法是将其化成二重积分 计算。一般有三种方法，究竟利用哪种方法取决于 的方程 中哪个变量能用其它另外两个变量的显示形式 表示，若 的方程既可化为 ，又可化为 或 ，则我们可从三种方法中取优。 关于第一型曲面积分的解题方法流程图如下框图所示： 求 方程的形式 求 求 解题方法流程图 2．物理应用 质量 质心 转动惯量 五、对面积的曲面积分的应用 1．几何应用 求曲面的面积： 【例1】计算曲面积分 ，其中 为平面 在第一卦限中的部分。 分析　因为 ： ，可恒等变形为 ： ， 故我们可采用框图中线路2解题方法求解。又因被积函数 与 形式相同，故可利用曲面方程来简化被积 函数，即将 代入，从而简化计算。 解：平面 方程的为 （见下图）， 在 面上的投影区域为： 面积元素 从而 注： 本题亦可框图中线路1或线路3的解题方法来求解。 【例2】计算曲面积分 ，其中 为锥面 被柱面 所截得的有限部分。 分析 由题可知 关于 面对称,所以关于 的奇函数积分为零. 解：曲面 方程为 ， 在 面上的投影区域为： 面积元素 从而 【例3】计算曲面积分 ，其中 为曲面 。 分析 注意到积分曲面 为旋转抛物面 ， 它关于 面和 面对称，且被积函数 关于变量 和 均为偶函数，因此只要计算 在第一 卦限部分，再4倍即可，即本题利用对称性计算比较简便。 解：设 在第一卦限的部分为 ，则 在 面上的投影 区域为： 于是 （令 ） 【例4】 计算曲面积分 ，其中 为球面 。 分析 由于积分曲面 为球面 ，它关于三个 坐标面具有轮换对称性，所以 ，而 ，故本题利用轮换对称性和奇偶对 称性计算比较简单。 解：因 ， 由奇偶对称性可知，上述未写出项的积分值均为0，而由 轮换对称性易知 ，故 注：从以上几个例子可以看出，计算对面积的曲面积分应注意 掌握以下几个要点： （1）由于积分范围 是曲面，所以点 的坐标满足曲面 的方程 ，计算中要善于利用曲面 的方程 来化简被积函数； （2）计算对面积的曲面积分时，应注意观察积分曲面 的对 称性（包括轮换对称性）和被积函数 的奇偶性， 可以