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* Page * 作业： 7－7 7－8 7－9 第2节 质系动量矩定理 质系中各质点动量pi对点O之矩的矢量和称为质系对点O的动量矩，或角动量 质系的动量矩是度量质系整体运动的基本特征量。动量矩是一个矢量，它与矩心O的选择有关。 质系的动量矩 m i v i r i x y z O m i v i i r i x y z A d i O r OA 质系对任意两点的动量矩之间的关系 LO与LA有何关系？ 类比： （1）力对点之矩 （2）力对不同点之矩的关系 m i v i i C r i r OC x y z A d i O r OA 质系对任意点的动量矩等于质系对质心的动量矩与作用于质心的质系的动量对该点之矩的矢量和。 绝对运动与相对运动的动量矩 ri rOA rOC rCA di ρi O X Y Z A C mi 因此一般LA=LAr不成立。 但LC=LCr成立 基点法，平动坐标系 ? 如何计算？ ri rOA rOC rCA di ρi O X Y Z A C mi （对任意系统成立） （只对刚体成立） （只对刚体平面运动成立） JA是刚体对A轴的转动惯量。 小结 ri rA rC rCA di ρi O X Y Z A C mi 思考题 一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。已知圆盘对质心的转动惯量为JC，角速度为?，质心C点的速度为vC。试求圆盘对水平面上O点的动量矩。 v v o o O O r r O O w w v v C C r r O O w w A v v o o O O r r O O w w v v C r r O O w w 另一种解法 质系对任意动点的动量矩定理 质系动量矩的变化仅取决于外力系的主矩，内力不能改变质系的动量矩。 ri rA rC di ρi O X Y Z A C mi 绝对运动 ri rA rC rAC di ρi O X Y Z C mi A 相对运动 不要求，略 公式小结 A为固定点 A为质心 A为速度瞬心 黄色框要记住，灰色框不必记 质系动量矩守恒定理 当外力系对某定点的主矩等于零时，质系对于该点的动量矩保持不变 当外力系对质心的主矩等于零时，质系对于质心的动量矩保持不变 质量均为m的A和B两人同时从静止开始爬绳。已知A的体质比B的体质好，因此A相对于绳的速率u1大于B相对于绳的速率u2。试问谁先到达顶端并求绳子的移动速率u。 例1 解 取滑轮与A和B两人为研究对象，系统对O点动量矩守恒： 设绳子移动的速率为u 两人同时到达定端 质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间的夹角为? ，轴AB以匀角速度? 转动。A、B轴承间的距离为h。求 (1). 系统对O点的动量矩； (2). A、B轴承的约束反力。 例2 y ω A C o a D B z 解 (1). 系统对O点的动量矩 角速度矢量 两小球的矢径 它们的速度 由质系的动量矩的定义可得 取整体系统为研究对象，建立固结坐标系 y ω A C o a D B z (2). 求A、B轴承的约束力 由质系的质心运动定理得 外力系对O点的主矩为 质系对定点的动量矩定理： 刚体对定轴z的动量矩： 刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用在刚体上的主动力系对该轴之矩。 质系对定轴z的动量矩定理： 刚体定轴转动运动微分方程 对于不规则物体，常用回转半径表示转动惯量 — 回转半径 例1 设质量为m的刚体悬挂在O点，并可绕一水平轴O转动，C为刚体的质心。已知质心到悬挂点O的距离OC = a，求此复摆的微振动周期。 运动微分方程 令 如摆角? 很小，sin? ? ? 复摆微振动周期为： 解 当? ? 5? 时，复摆的运动为非线性振动。 l叫做复摆的等效摆长，该复摆的运动相当于摆长为l的单摆的运动。 悬挂中心与摆动中心具有互易性。 可用复摆法测量刚体的转动惯量 讨论 两个质量为m1和m2的重物分别系在两根不同的绳子上，两绳分别绕在半径为r1和r2并固结在一起的两鼓轮上，如所示。设鼓轮对O轴的转动惯量为JO，重为W。求鼓轮的角加速度。 例2 解 (1) 鼓轮的角加速度 取系统为研究对象，对O轴动量矩为 问题： 如果用力（p＝mg）代替重物， 是否能等效？ * Page *