轨迹与方程功课.PPTVIP

轨迹方程的求解问题 1.求轨迹方程的一般步骤: (1)建系(2)设点(3)列式(4)代换(5)化简(6)证明(略) 注:验证常用思路:化简是否同解变形;是否满足题意;特殊点是否成立 2.求轨迹方程的常用方法: (1)直接法;(2)待定系数法;(3)定义法;(4)相关点法;(5)交轨法 * * 曲线的轨迹与方程 要点·疑点·考点 O x y A C B ? ? O 解: |BC| = 如图， 设椭圆的另一个焦点为D D 以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。 设椭圆方程为 （ab0) 则 即 |AD| + |AC| = 2a，|BD| + |BC| = 2a 所以，|AD| + |BD| + |AC| + |BC| = 4a 基础题例题 待定系数法 例1 等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为 ，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B。求：该椭圆方程。 O 得 D |AD| + |AC| = 2a |AC| = ? |AD| = 在 ?ADC中 |DC|2 = |AD|2 + |AC|2 = （ ）2 + 16 = 24 2c ? c2 = 6， b2 = a2 c2 = （2 + ）2 - 6 = 故所求椭圆方程为 例1 等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为 ，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B。求：该椭圆方程。 x y A C B ? ? O D 例2 已知动圆P过定点A(-3,0),且在定圆B: (x-3)2+y2=64的内部与其内切,求动圆圆心P的轨迹方程 解:由已知|PA|+|PB|=8|AB| ∴点P的轨迹是以AB为两焦点,长半轴长为4,短半轴长为 的椭圆 故动圆圆心P的轨迹方程为 定义法 例3 已知△ABC的两个顶点坐标分别是A（－2，0）、 B（0，－2），第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动，求△ABC的重心轨迹方程． 解 设C点坐标为（x0，y0），△ABC重心坐标为（x，y），依题意有 解得 因点C （x0，y0）在y=3x2-1上移动， 所以 ， 整理得 为所求△ABC重心轨迹方程． 相关点法 A O B M 例4 已知抛物线y2=4px(p0).o为顶点,A,B为抛物线上两动点且满足OA⊥OB,如果OM ⊥AB于M点,求点M的轨迹方程. 直接法 5. (2008重庆理)如图M（-2，0）和N（2，0） 是平面上的两点，动点P满足： （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）若 求点P的坐标. 解：(Ⅰ)由椭圆定义，点P的轨迹是 以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴 b= 所以椭圆的方程为 定义法 (Ⅱ)由 得 ①因为 不为椭圆长轴顶点， 将①代入②，得 故P、M、N构成三角形.在△PMN中， ② 故点P在以M、N为焦点，实轴长为 的双曲线 由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足 所以 解得 上. 即P点坐标为 6（2009宁夏） 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点， 焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离 分别是7和1. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于 x轴的直线上的点， 求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 =λ， 解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 由已知 所以椭圆 的标准方程为 （Ⅱ）设 ，其中 。由已知 及点 在椭圆 上可得 整理得 （i） 时。化简得 所以点 的轨迹方程为 轨迹是两条平行于 轴的线段。 当 时，点 的轨迹为中心在原点、实轴在 轴上的双曲线满足 的部分。 时，点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆满足 的部分； 时，点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆； 当 当 时，方程变形为 其中 （ii） 待定系数法 7.（2009重庆）已知以原点 一条准线方程为 ，离心率 是椭圆上的动点． （Ⅰ）若 的坐标分别是 求 的最大值； 的坐标为 是圆 上的点， 是点 在 轴上的射影，点 满足条件： 求线段 的中点 的轨迹方程； 为中心的椭圆的 （Ⅱ）如图，点 解：（Ⅰ）由题设知焦点在y轴上，故设椭圆方程为 （a ＞b＞ 0 ）. 由准线方程 得.由 得 解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 又易知C，D两点是椭圆 的焦点，所