轴对称球函数与Legendre多项式.pptVIP

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2017-11-20 发布于江苏
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轴对称球函数与Legendre多项式

* 广义 Fourier 级数 Hilbert 空间轴对称球函数与Legendre多项式 Legendre多项式的性质 Legendre多项式的生成函数连带Legendre函数连带Legendre方程为：作变换：代入方程并整理可得：可以证明，上述方程可以由 Legendre 方程逐项求导 m 次得到。从而该方程的解是 Legendre 方程的解的 m 阶导数。这样，连带Legendre方程的解为：上述解被称为连带Legendre函数。连带Legendre方程和自然边界条件也构成本征值问题，本征值是 l ( l + 1), l 取非负整数。本征函数就是连带 Legendre函数。下面是几个连带 Legendre 函数的例子：（P476，附录五）连带Legendre 函数的微分与积分表示连带Legendre 函数的模与正交关系根据关于Sturm-Livouville本征值问题的讨论，不同 l 的 Legendre 函数正交：（递推公式可参见P307页内容）连带Legendre函数作为完备函数基连带 Legendre 函数构成一组完备的函数基，因而可以把定义在区间[-1，1]上的任意函数展开成为广义 Fourier级数。一般的球函数球函数方程：球函数（l 称作球函数的阶）：复数形式的球函数：独立的 l 阶球函数有2l+1个。球函数的正交关系与模可以证明：对于复数形式：球函数作为完备函数基利用球函数可以构造一组正交归一的完备函数基，定义在球面上的任意函数均可以用该基展开：第十一章柱函数（m 取整数）递推公式 *