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算 法 案 例（一） 辗转相除法（欧几里得算法） 与更相减损术 思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？ 思考:你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？写出算法步骤、程序框图和程序。 练习1：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数. 20723=4081×5+318; 4081=318×12+265; 318=265×1+53; 265=53×5+0. 思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？ S1:给定两个正整数 m,n不妨设mn; S2：若m,n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m,n; S3：d=m-n; S4:判断“d≠n”是否成立。若是，则将n,d中的较大者记为m，较小者记为n，返回s3;否则，2kd(k时约简整数的2的个数)为所求的最大公约数。 * * 1、求两个正整数的最大公约数 （1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数 2、求8251和6105的最大公约数 25 （1） 5 5 35 7 49 （2） 7 7 63 9 所以，25和35的最大公约数为5 所以，49和63的最大公约数为7 辗转相除法（欧几里得算法） 观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146 结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。 第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 完整的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数 显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数 S1：给定两个正整数m,n S2：用大数除以小数，计算m除以n所得的余数； S3：除数变成被除数，余数变成除数，即 m=n , n=r S4：重复S2,直到余数为0，即 若r=0，则m, n 的最大公约数为m，否则返回S2 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 m = n × q ＋ r 用程序框图表示出右边的过程 r=m MOD n m = n n = r r=0? 是 否 r=m MOD n m = n n = r r=0? 是 否 开始 输入两个正数m,n 输出m 结束 INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 开始 输入m，n 求m除以n的余数r m=n n0？ 否 输出m 结束 是 n=r INPUT m，n WHILE n0 r=m MODn m=n n=r WEND PRINT m END (53) 《九章算术》——更相减损术 算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。 例3 用更相减损术求98与63的最大公约数 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7 练习3：分别用辗转相除法和更相减损术求204与85的最大公约数。 解： 开始 输m,n(mn) K=0 M,n为偶数? K=k+1 M=m/2 N=n/2 dn? dn? 否 M=n N=d d=m-n M=d 是 输出2^k *d 结束 是 否 否 是 d=m-n INPUT “m,n=“;m,n IF mn