边缘分布与独立性学习.PPTVIP

第 二 节 边 缘 分 布 与 独 立 性 FX(x) =P(X?x)=P(X ?x, Y+?) =F (x, +?) 称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数； 一、边缘分布 1、定义3.2.1 =P(X ?x, Y+?) =FX(x) 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y) FY(y) =P(Y?y)=P(X +? , Y ?y) =F (+?,y) 称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数. 1) 离散型 若(X,Y)的联合分布律为 称为(X,Y)关于X的边缘分布律。并记为 2、 分离散型与连续型两种情况考虑 如下表： 例1 袋中有2只白球和3只黑球，现进行有放回地取球， 定义下列随机变量： 试给出(X,Y)的联合分布与边缘分布。 若采用不放回取球，情况又怎样？ 不放回时的联合分布列： 联合分布唯一确定边缘分布，反之不成立。 2) 连续型 求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。 =5c/24=1, c =24/5 解：(1) 由 确定C 例2 设(X,Y)的概率密度是 例2 设(X,Y)的概率密度是 解: (2) 求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 . 注意积分限 注意取值范围 x y 0 1 y=x 例2 设(X,Y)的概率密度是 解: (2) 求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 . 注意积分限 注意取值范围 x y 0 1 y=x 即 例3：设二维r.v.（X，Y）的二维联合概率密度函数为： 求（X，Y）关于X及Y的边缘分布密度. 二维正态分布的两个边缘密度仍是 正态分布 . 在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分. 当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 . 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布. 那么要问，在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？ 请注意联合分布和边缘分布的关系: 二、独立性 两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 . 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 . 两随机变量独立的定义是： 用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 . 它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 . 可推广到多维的情况. 若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的定义等价于： 则称X和Y相互独立. 对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有 例1中的X与Y是否独立？ 其中 是X,Y的联合密度， 几乎处处成立，则称X,Y相互独立 . 对任意的 x, y, 有 若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于： 这里“几乎处处 成立”的含义是： 在平面上除去面 积为0的集合外， 处处成立. 分别是X的 边缘密度和Y 的边缘密度 . 例4 设(X,Y)的概率密度为 问X和Y是否独立？ 解： x0 即： 对一切x, y, 均有： 故X,Y 独立 y 0 若(X,Y)的概率密度为 情况又怎样？ 解： 0x1 0y1 故X和Y不独立 . 在连续点（1/4，1/2）处，