运筹学二对偶理论与灵敏度分析.pptVIP

第二章 对偶理论与灵敏度分析 §1 单纯形法的矩阵描述 设max z = CX AX = b X ≥ 0 A为m×n阶矩阵 RankA=m ,取B为可行基, N为非基， 求解步骤： 现在出租，设y1为设备单位台时的租金 y2,y3为材料A、B转让附加费(kg-1) 一般的，原问题：max z = CX AX ≤ b X ≥ 0 §3 对偶问题的化法 1、典型情况 [eg.2]max z = x1 + 2x2 + x3 2x1 + x2 ≤ 6 2x2 + x3 ≤ 8 x1,x2,x3 ≥ 0 2、含等式的情况 [eg.3]max z = x1 + 2x2 + 4x3 2x1 + x2 + 3x3 = 3 x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 4 x1,x2,x3 ≥ 0 3、含“≥”的max问题 [eg.4]max z = x1 + 2x2 + 4x3 2x1 + x2 + 3x3 ≥ 3 x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 4 x1,x2,x3 ≥ 0 [eg.5]min z = 2x1 + 3x2 - 5x3 + x4 x1 + x2 - 3x3 + x4 ≥ 5 2x1 + 2x3 - x4 ≤ 4 x2 + x3 + x4 = 6 x1 ≤ 0,x2,x3 ≥ 0,x4无约束 §4 对偶问题的性质 推论： (1) max问题任一可解的目标值为min问题目标值的一个下界； (2) min问题任一可解的目标值为max问题目标值的一个上界。 ∴Y*为对偶问题的最优解，且原问题和对偶问题 的目标值相等。 证毕 7、检验数与解的关系 (1)原问题非最优检验数的负值为对偶问题的一个基解。 (2)原问题最优检验数的负值为对偶问题的最优解。 [eg.6]已知：min w = 20y1 + 20y2 的最优解为y1*=1.2,y2*=0.2 -ys1 y1 + 2y2 ≥ 1 ① 试用松弛性求对偶 -ys2 2y1 + y2 ≥ 2 ② 问题的最优解。 -ys3 2y1 + 3y2 ≥ 3 ③ -ys4 3y1 + 2y2 ≥ 4 ④ y1,y2 ≥ 0 ∵y1*=1.2,y2*0.2 0 ∴xs1* = xs2* = 0 由① y1* + 2y2* = 1.6 1 ∴ys1* 0 ∴x1* = 0 由② 2y1* + y2* = 2.6 2 ∴ys2* 0 ∴x2* = 0 由③ 2y1* + 3y2* = 3 =右边 ∴ys3* = 0 ∴x3*待定 由④ 3y1* + 2y2* = 4 =右边 ∴ys4* = 0 ∴x4*待定 §5 对偶问题的经济含义——影子价格 最优情况：z* = w* = b1y1* + ··· + biyi* + ··· + bmym* §6 对偶单纯形法 单纯形法：由 XB = B-1b ≥ 0，使σj ≤ 0，j = 1,···,m 对偶单纯形法：由σj ≤ 0(j= 1,···,n)，使XB = B-1b ≥ 0 [eg.8]用对偶单纯形法求解 min w = 2x1 + 3x2 + 4x3 x1 + 2x2 + x3 ≥ 1 2x1 - x2 + 3x3 ≥ 4 x1,x2,x3 ≥ 0 §7 灵敏度分析 例1 已知下述问题的最优解及最优单纯形表, 最优单纯形表如下: 例2 求例1 ?c4的变化范围,使最优解不变. 例5 在例1的基础上，企业要增加一个 新产品Ⅲ,每件产品需2个台时，原材料A 6kg， 原材料B 3kg，利润 5元/件，问如何安排各产