选修函数的最大(小)值与导数.pptVIP

* * 1.3.3 函数的最值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的局部 性质,而不是函数在整个定义域内的性质。 但是我们往往更关心函数在某个区间上 哪个值最大，哪个值最小。 观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象， 你能找出它的极大值点，极小值点吗？ 极大值点 ， 极小值点 你能说出函数的最大值点和最小值点吗？ 最大值点 ：a ， 最小值点：d 最小值是f (b). 单调函数的最大值和最小值容易被找到。 函数y=f(x)在区间[a,b]上 最大值是f (a), 图1 最大值是f (x3), 图2 函数y=f (x)在区间[a,b]上 最小值是f (x4). 一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f (x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么 它必有最大值和最小值。 怎样求函数y=f (x)在区间[a ,b]内的最大值 和最小值？ 只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点 的函数值进行比较即可。 例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的 最大值，最小值。 单调递增↗ -4 单调递减↘ 28 单调递增↗ f(x) + 0 - 0 + (2,+∞) 2 (-2,2) -2 (-∞,-2) x 例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的 最大值，最小值。 解：由上节课的例1知，在[0,3]上， 当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值， 并且极小值为f (2)=-4. 又由于f (0)=12,f (3)=3, 因此，函数 f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的 最大值为12，最小值为-4。 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值); ②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下 练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间 [-2,2]上的最大值与最小值。 因为f(-2)=57, f(1.5)=-28.75, f(2)=-23 所以函数的最大值为57，最小值为-28.75 解： =-36+6x+12x2=6(2x2+x-6) 令 =0,解得x1=-2 , x2=1.5 练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间 [-1,1]上的最值。 解： =3x2-6x+6=3(x2-2x+2) 因为 在[-1,1]内恒大于0, 所以 f(x)在[-1,1]上是增函数， 故当x=-1时，f(x)取得最小值-12； 当x=1时，f(x)取得最大值2。 例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a; (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值。 令 0,解得x-1或x3 解: (1) =-3x2+6x+9 函数f(x)的单调递减区间为 (-∞,-1) ∪(3,+∞) -1 2 3 (2) ∵f(-2)=8+12-18+a=2+a f(2)=-8+12+18+a=22+a ∴f(2)f(-2) 于是有22+a=20,解得a=-2 ∴f(x)=-x3+3x2+9x-2 ∴f(x)在[-1,2]上单调递增 ∴在(-1,3)上 0, 又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减， 即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。 ∴ f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的 最大值和最小值。 ∴f(-1)=1+3-9-2=-7, 例3、证明：当x0时，xln(1+x) 解：设f(x)=x-ln(1+x). 即xln(1+x). 又因为f(x)在x=0处连续， 所以f(x)在x≥0上单调递增， 从而当x0时，有f(x)=x-ln(1+x)f(0)=0 练习3:当x1时,证明不等式: 证:设 显然f(x)在[1,+∞)上连续,且f(1)=0. 显然,当x1时, ,故f(x)是 [1,+∞)上的增函数. 所以当x1时,f(x)f(1)=0,即当x1时,