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通信原理 通信原理 第12章 正交编码与伪随机序列 第12章 正交编码与伪随机序列 引言 正交编码与伪随机序列在数字通信技术中都是十分重要的。正交编码不仅可以用作纠错编码，还可以用来实现码分多址通信，目前已经广泛用于蜂窝网中。伪随机序列在误码率测量、时延测量、扩谱通信、密码及分离多径等方面都有着十分广泛的应用。因此，本章将在简要讨论正交编码概念之后，着重讨论伪随机序列及其应用。 第12章 正交编码与伪随机序列 12.2 正交编码 12.2.1 正交编码的基本概念 正交性 若两个周期为T的模拟信号s1(t)和s2(t)互相正交，则有 同理，若M个周期为T的模拟信号s1(t)，s2(t)，…，sM(t)构成一个正交信号集合，则有 互相关系数 对于二进制数字信号，用一数字序列表示码组。这里，我们只讨论二进制且码长相同的编码。这时，两个码组的正交性可用如下形式的互相关系数来表述。 第12章 正交编码与伪随机序列 设长为n的编码中码元只取值+1和-1，以及x和y是其中两个码组： 其中 则x和y间的互相关系数定义为 若码组x和y正交，则必有?(x, y) = 0。 第12章 正交编码与伪随机序列 正交编码 例如，下图所示4个数字信号可以看作是如下4个码组： 按照互相关系数定义式计算容易得知， 这4个码组中任意两者之间的相关系数 都为0，即这4个码组两两正交。我们 把这种两两正交的编码称为正交编码。 第12章 正交编码与伪随机序列 自相关系数： 类似上述互相关系数的定义，可以对于一个长为n的码组x定义其自相关系数为 式中，x的下标按模n运算，即有xn＋k ? xk 。例如，设 则有 第12章 正交编码与伪随机序列 用二进制数字表示互相关系数 在二进制编码理论中，常采用二进制数字“0”和“1”表示码元的可能取值。这时，若规定用二进制数字“0”代替上述码组中的“＋1”，用二进制数字“1”代替“－1”，则上述互相关系数定义式将变为 式中，A — x和y中对应码元相同的个数； D — x和y中对应码元不同的个数。 例如，按照上式规定，上面例子可以改写成 第12章 正交编码与伪随机序列 用二进制数字表示自相关系数 上式中，若用x的j次循环移位代替y，就得到x的自相关系数?x (j)。具体地讲，令 代入定义式 就得到自相关系数?x (j)。 第12章 正交编码与伪随机序列 超正交码和双正交码 超正交码：相关系数? 的取值范围在?1之间，即有-1 ? ? ? +1。若两个码组间的相关系数? 0，则称这两个码组互相超正交。如果一种编码中任两码组间均超正交，则称这种编码为超正交码。 例如，在上例中，若仅取后3个码组，并且删去其第一位，构成如下新的编码： 则不难验证，由这3个码组所构成的编码是超正交码。 第12章 正交编码与伪随机序列 双正交编码 由正交编码和其反码便可以构成双正交编码。 例： 上例中正交码为 其反码为 上两者的总体即构成如下双正交码： (0,0,0,0) (1,1,1,1) (0,0,1,1) (1,1,0,0) (0,1,1,0) (1,0,0,1) (0,1,0,1) (1,0,1,0) 此码共有8种码组，码长为4，任两码组间的相关系数为0或－1。 第12章 正交编码与伪随机序列 12.2.2 阿达玛矩阵 定义： 阿达玛矩阵简记为H矩阵。它是一种方阵，仅由元素+1和－1构成，而且其各行（和列）是互相正交的。最低阶的H矩阵是2阶的，即 下面为了简单，把上式中的＋1和－1简写为＋和－，这样上式变成 第12章 正交编码与伪随机序列 阶数为2的幂的高阶H矩阵可以从下列递推关系得出 H N＝ H N / 2 ? H 2 式中，N ＝ 2m； ? － 直积。 上式中直积是指将矩阵HN / 2中的每一个元素用矩阵H2代替。例如： 第12章 正交编码与伪随机序列 上面给出几个H矩阵的例子，都是对称矩阵，而且第一行和第一列的元素全为“＋”。我们把这样的H矩阵称为阿达玛矩阵的正规形式，或称为正规阿达玛矩阵。 第12章 正交编码与伪随机序列 性质 在H矩阵中，交换任意两行，或交换任意两列，或改变任一行中每个元素的符号，或改变任一列中每个元素的符号，都不会影响矩阵的正交性质。因此，正规H矩阵经过上述各种交换或改变后仍为H矩阵，但不一定是正规的了。 按照递推关系式可以构造出所有2k阶的H矩阵。可以证明，高于2阶的H矩阵的阶数一定是4的倍数。不过，以4的倍数作为阶数是否一定存在H矩阵，这一问题并未解决。 H矩阵是正交方阵。若把其中每一行