柯西不等式的证明和应用.doc

摘要：柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它在不同的领域里有着不同的表现形式，在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，其证明的思维方式灵活多样.虽然它在各个分支的表现形式不同，但各种形式相互渗透着内在的联系，它们间的相互转化显示出数学内部结构的和谐美和统一美.本文归纳总结了它的几种类型，列举了它在初等代数研究、数学分析、高等代数、复变和概率论中的一些形式，证明方法和应用， 所有这些都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性. 关键词： 柯西不等式， 证明，联系，应用 Abstract: .Cauchy Inequality in mathematics is a very important inequality, which in different fields has different forms. Cauchy Inequality has an extremely wide range of applications in every branch of mathematics and proving. It has many branches of different forms, but all forms of infiltration of intrinsic link shows the harmony and beauty of mathematics. This article summarizes its several types, proofs and applications in the Elementary Algebra research, mathematical analysis, advanced algebra, complex variables and probability theory in some form, proof methods and applications, all of which fully embody the mathematical connection of between fields, penetration and uniformity. Key words:Cauchy Inequality,Proving, Contaction, Application 目录 1.引言 2．柯西不等式的形式和证明 2.1柯西不等式在初等代数研究中的形式和证明 2.2柯西不等式在数学分析中的形式和证明 2.3柯西不等式在高等代数中的形式和证明 2.4柯西不等式在复变中的形式和证明 2.5柯西不等式在概率论中的形式和证明 3.柯西不等式每种形式间关系 4.柯西不等式的应用 总结 参考文献 感谢 1. 引言 柯西不等式是大数学家柯西(Cauchy) 在研究数学分析中“留数”问题时得到的, 因而被命名为柯西不等式.柯西(Cauchy, 1789－1857)，法国数学家，8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职.由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒. 他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式.在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，以《分析教程》（1821年）和《关于定积分理论的报告》（1827年）最为著名. 他对数论、代数、数学分析和微分方程等多个数学领域进行了深入的研究, 并获得了许多重要成果, 著名的柯西不等式就是其中之一,但从历史的角度看, 该不等式应当命名为Cauch - Buniakowsky - Schwarz不等式.因为这一不等式是由后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之, 并应用到近乎完善的地步. 2. 柯西不等式的形式和证明 柯西不等式在初等代数研究中的形式 当且仅当存在不全为零的常数k使时，等号成立（） 证 这定理在或时明显成立，所以在该证明中 不妨设中至少有一个不为零，中也至少有一个不为零。 构造实变量二次函数 因为 所以 恒成立 因为 即 当且仅当 （）时等号成立 2.2数学分析中柯西不等式的形式 ，有 当且仅当存在不全为零的常数, 使时,等式成立. 证 设 = 所以 判别式 即 所以 2.3高等代数中柯西不等式的形式 对于任意的向量,有 当且仅当存在不全为零的常数 , 使时,等式成立. 证 当时，显然成立.以下设.令是一个实变数，作向量 , 由可知，不论取何值，一定有 . 即 . 则 判别式 , 即 . 从而 , 所以 . 当,线性相关时，等号显然成立.反过