酉空间的定义与性质,酉变换.pptVIP

* 定义6 设 ? 是欧氏空间 V 的一个线性变换, 如果对任意向 量 ?? ??V, 都有 (?(?), ?) = (?, ?(?)), 则称 ? 是对称变换. 定理5 n 维欧氏空间 V 中线性变换 ? 是对称变换 ? ? 在 V 的任一组标准正交基下的矩阵是实对称阵. 证明 设 ? 在 V 的一组标准正交基 e?? e???? en 下的矩阵是 则 定理6 已知 ? 是 n 维欧氏空间 V 的一个对称变换, W 是 ? 的不变子空间, 证明 W 的正交补 W⊥ 也是 ? 的不变 子空间. 证明 因为 ? 是对称变换, 所以对 W 中任一元素 ?, ?(?) 还属于 W, 设 ? 是 W 的正交补中任一元素, 则 (?(?), ?) = (?, ?(?)) = 0, 所以 ?(?) 还属于 W 的正交补, 所以 W? 也是 ? 不变子空间. 第十二讲 酉空间的定义与性质、酉变换 定义1 设 V 是一个复线性空间, 如果对 V 中任意的两个 向量 ?? ?, 都有唯一的一个复数 (?? ?) 与之对应, 且满足 以下性质 (1) ??, ??V, (?, ?) = (?, ?) 的共轭复数; (2) ??, ?, ??V, (?, ?+?) = (?, ?) + (?, ?); (3) ??, ??V, ?k?R, (k?, ?) = k(?, ?); (4) ???V, (?, ?) ? 0, 且 (?, ?) = 0 ? ? = 0, 则称 ??? ?? 是向量 ? 与 ? 的内积, 定义了内积的复线性 空间 V 称为酉空间. 例1 在 Cn 中, 设 ? ? ?a?, a2?, an?T, ? = (b1,b2,?,bn)T, 命 易证这样规定的 (?, ?? 满足内积的4条性质. 在复向量空间 Cn 中这样定义的内积称为 Cn 的标准内积. 定义2 由于 (?? ?) ? 0, 在酉空间中可引出向量 ? 的长 度的概念. 向量 ? 的长度 ||?|| 定义为 ? c?R, 由于 所以, 当 ? ? ? 时 因此, 向量 是与 ? 同方向长度1的向量, 叫单位向量. 定理1 (Cauchy-Schwarz不等式) 在酉空间中向量的内积 满足: |(?? ??|2 ? (?, ?)(?, ?) (1) 其中等号成立当且仅当 ? 与 ? 线性相关. 证明 若 ?? ? 线性无关, 则对任意复数 x 都有 x??? ? 0, 那么 ?x???? x???? ? ??? ??|x|2??Re(??? ??x)???? ?? ? ?? 由正定性有 ??? ?? 0, ??? ?? 0, 取 x = -(?, ?)/??? ??, 可 得 |??? ??|? /??? ?? ? ??? ??. 因为 ??? ?? 0, 所以 ??? ????? ?? |??? ??|?. 假若 ?? ? 线性相关, 如果 ?? ? 中有一个为0, 显然(1)式等 号成立, 因此不妨设 k? ? ? ? ?? 那么 |??? ??|? ? |?k?? ??|? ? |k|2??? ??2 ? ?k?? k????? ?? ? (?, ?)(?, ?). 定义3 设 (?? ?) = 0, 则称 ? 与 ? 正交(垂直), 记作 ???. 由于零向量与任何向量的内积为零, 所以我们也说零向 量与任何向量正交, 反之亦然. 设 V 是酉空间, W 是 V 的子空间, 则称 为 W 在 V 中的正交补. W⊥ 恰好由所有与W 正交的向量组成. 标准正交基 在酉空间中, 一组非零的两两正交的向量称为是一个正交 向量组. 正交向量组有一个非常重要的性质. 定理2 任意正交向量组 ??, ?2,?, ?s 线性无关. 证明 设 k1??+k2?2+?+ks?s = 0, 两边用 ?i 作内积, (k1??+k2?2+?+ks?s, ?i ) = 0, 即 k1(??,?i )+k2(?2, ?i )+?+ks(?s, ?i ) = 0. 由于向量是两两正交的, 有 由当 j ? i 时 (?j, ?i) = ? 可以得到 ki(?i, ?i) = 0, 又因 ?i ? ?, 有 (?i, ?i) ? ?, 从而 ki ? ?, i = 1, 2,?, s. 所以 ??, ?2,?, ?s 线性无关. 推论 在 n 维酉