闭区间上连续函数性质学习.pptVIP

第8节 一、最大最小值定理 二、介值定理 闭区间上连续函数的性质 第一章 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 一、最值定理 定理8.1在闭区间上连续的函数 即: 设 则 使 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 定理8.2 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 二、介值定理 定理8.3. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 使 ( 证明略 ) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理8.4. ( 介值定理 ) 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 使 至少有 推论1 闭区间上的连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。 推论2 闭区间上的不为常数的连续函数必把闭区间映射成闭区间。 例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 在区间 内至少有 上连续 , 且恒为正 , 例2. 设 在 对任意的 必存在一点 证: 使 令 , 则 使 故由零点定理知 , 存在 即 当 时, 取 或 , 则有 证明: 例3. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 一刀剪为面积相等的两片. 解: 建立坐标系如图. 则面积函数 因 故由介值定理可知: 则 证明至少存在 使 提示: 令 则 易证 例4. 设 一点 , ] 2 , 0 [ ) ( a C x f ? , ) 2 ( ) 0 ( a f f = , ] , 0 [ a ? x . ) ( ) ( a f f + = x x , ) ( ) ( ) ( x f a x f x - + = j , ] , 0 [ ) ( a C x ? j 0 ) ( ) 0 ( ￡ a j j 例5 至少有一个不超过 4 的 证： 证明 令 且 根据零点定理 , 原命题得证 . 内至少存在一点 在开区间 显然 正根 . 第9节 一致连续性 第一章 一致连续性 已知函数 在区间 I 上连续, 即: 一般情形, 就引出 了一致连续的概念 . 定义: 对任意的 都有 在 I 上一致连续 . 显然: 例如, 但不一致连续 . 因为 取点 则 可以任意小 但 这说明 在 ( 0 , 1 ] 上不一致连续 . 定理.9.1 康托（Cantor)定理 上一致连续. (证明略) * 若不讲一致连续 , 则运行时点击“小结“按钮跳过它 * 若不讲一致连续 , 则运行时点击“小结“按钮跳过它