闭区间上连续函数的性质的教学非常好.pptVIP

定理1 设 在闭区间 上连续，则 在 上存在最大值和最小值，即 使得 1、最大值和最小值定理 §2.6 闭区间上连续函数的性质 设f (x)在闭区间[a, b]上连续，则 (i) f (x)在[a, b]上为单调函数时 a O b x y a O b x y O a b x y O a b x y §2.6 闭区间上连续函数的性质 此时，函数 f (x)恰好在 [a, b]的端点a和b取到最大值和最小值. y=f (x)?[a, b], 则 y=f (x)?[a, b], 则 §2.6 闭区间上连续函数的性质 (ii) y = f (x) 为一般的连续函数时，如图中所示， x y a a1 a2 a3 a4 a5 a6 b ma1 ma ma2 ma3 ma4 ma5 ma6 mb y = f (x) §2.6 闭区间上连续函数的性质 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. §2.6 闭区间上连续函数的性质 定理2 设 在闭区间 上连续，则 在 上有界. 函数 在 上无上界： 2、有界性定理 §2.6 闭区间上连续函数的性质 ? f (x)在 [a, b]上可取到它的最大值M和最小值m， 证： ? f (x)在闭区间[a, b]上连续 故 m? f (x) ? M x?[a, b] | f (x)| ? M* x?[a, b] 令 M* = max {|m|, |M|}, 则 即 f (x)在[a, b]上有界. §2.6 闭区间上连续函数的性质 3、 零点存在性定理 定理3：设 f (x)在闭区间[a, b]上连续，且f (a) f (b)0，则至少存在一点??(a, b)，使得 f (? )＝0. a x y y=f (x) f (a) b f (b) O 几何解释: §2.6 闭区间上连续函数的性质 4、介值 定理 定理4’：设 f (x)在闭区间[a, b]上连续，f (a)＝A, f (b)＝B, 且A?B, 则对于A，B之间的任意一个数C，至少存在一点??(a, b)，使得 f (?)=C 定理4：设 f (x)在闭区间[a, b]上连续，则存在最大值最大值M和最小值m，对于M和最m之间的任意一个数C，至少存在一点??(a, b)，使得 f (?)=C §2.6 闭区间上连续函数的性质 证：令 ? (x)=f (x)?C 故, 由根存在定理，至少存在一点??(a, b)使 则 ? (x)?C([a, b]) . ? C在A，B之间 ? ? (a)?? (b) = (f (a)?C)?(f (b) ? C) ＝(A?C)(B?C)0 ? (x)= 0，即 f (x) = C . y B C A O a ? ? ? b x 推论：设 f (x)在闭区间[a, b]上连续，则f (x)取得介于其在[a, b] 上的最大值M和最小值m之间的任何值? 就是说，m?C?M, 则必存在??[a, b], 使得f (?)=C. 例1：设 f (x)在闭区间[a, b]上连续， a x1 x2 … xn b , 证明: 至少存在一点??[x1 , xn ]，使得 §2.6 闭区间上连续函数的性质 证：? f (x)在闭区间[a, b]上连续. ?有 从而 由介值定理，至少存在一点??[x1 , xn ]，使 综上所述，命题获证. m?f (xi)? M. §2.6 闭区间上连续函数的性质 例2: 证明方程x5–3x =1, 在x=1与x=2之间至少有一根. 证： 令 f (x)= x5–3x–1，x?[1, 2] 则 f (x)在闭区间[1, 2]上连续 又 f (1)= –3， f (2)= 25，即 f (1)? f (2) 0 即 方程在x=1与 x=2之间至少有一根. 故 至少存在一个??(1, 2)，使得 f (? )=0, §2.6 闭区间上连续函数的性质 例3 证 由零点定理, §2.6 闭区间上连续函数的性质 而 f (0)=0–a sin0–b = – b 0 f (a+b)=(a+b)–a sin(a+b)–b =a(1?sin(a+b))?0 设 f (x)=x ? a sinx?b , x?[0, a+b], 则f (x)在闭区间[0, a+b]上连续, 例4：证明：方