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随机过程 卢正新 电子与信息工程系 华中科技大学 第一章 随机过程的概念与基本类型 预备知识 简要回顾一下概率论中与本课程有关的基本概念：随机试验、样本空间、事件、概率、随机变量等 古典概率 随机试验中一切可能结果是有限多个； 每个结果出现的可能性是相等的； 则事件A发生的概率可表示为 几何概率 计算无穷个基本事件的情形； 样本点具有均匀分布的性质； 设用L（ Ω ）作为区域Ω大小的量度，而区域Ω中任意可能出现的小区域A的量度用L（A）表示； 则事件A（或某一区域）发生的概率表示为 统计概率 用于计算前两种随机概率概括不了的随机事件概率； 用事件的频率近似地去表达事件的概率； 若在同样的条件下，将随机试验独立的重复做n次，事件A出现了nA次，则事件A的频率是 公理化定义概率 对于一个事件A∈样本空间Ω，赋予一个实数P，若满足： 0≤P(A) ≤1; P(Ω)=1; 若A1,A2,……..,Ak两两互斥，则 概率空间 规定一个随机试验，所有样本点之集合构成样本空间Ω ，在样本空间中一个样本点或若干个样本点之适当集合F称为事件域，F中的每一个集合称为事件。若A ∈F，则P(A)就是事件A的概率，并称这三个实体的结合（ Ω ，F，P）为一个概率空间 条件概率 在事件B已发生这一条件下，事件A发生的概率。 设事件A1，A2，…，An构成一个完备事件组，概率P(Ai)0,i=1,2,……,n,对于任何一个事件B，若P(B)0, 有 随机变量 随机变量的数字特征 统计平均与随机变量的数学期望 随机变量函数的期望值 方差 协方差 相关系数 独立与不相关 特征函数、母函数 特征函数、母函数 小节 概率论中的基本概念——随机试验、样本空间、事件、概率、概率空间、条件概率、全概率。 随机变量及分布函数——随机变量、分布函数、随机变量函数的分布、n维随机变量、边际分布、条件分布。 随机变量的数字特征——统计平均、数学期望、方差、协方差、相关系数、相关性和统计独立。 作业 复习概率论与数理统计方面的知识。 预备知识结束 L（A）是一维区间的长度，二维区间的面积，三维空间的体积，。。。。 从上述三个客观事实总结出来的共同属性可以给概率赋予一个公理化定义，它既可以包括前面三种特殊情况，又具有更广泛的一般性。 概率的分配完全由数学模型的式子给出（也和事件集的性质有关）。 如果Ω是有限的，我们可以给样本点标上一个数目；如果Ω是可数无限的，我们通常用某种算法来确定第n个样本点的概率；如果Ω是（数值上）不可数无限的样本空间，我们可以用一个加权函数来分配概率。 事件A1，A2，……，An看作是导致事件B发生的“因素”，P(Ai)是在事件B已经出现这一信息得知前Ai出现的概率，通常称为先验概率，但是在试验中事件B的出现，有助于对导致事件B出现的各种“因素”发生的概率作进一步探讨，公式给出的P(Ai︱B)是在经过试验获得事件B已经发生这个信息之后，事件Ai发生的概率，称为后验概率，后验概率依赖于试验中得到的新信息的具体情况（比如事件B发生还是事件B补发生），并且给出在获得新信息之后，导致B出现的各种因素Ai发生情况的新知识，因此贝叶斯公式又称为后验概率公式或逆概率公式， 注意，不要把两个事件的互斥与两个事件的统计独立混淆起来，它们是属于两个完全不同的概念。 互斥是指在样本空间上没有交集，是集合范畴的概念，而统计独立是概率范畴的概念。 由于数学分析不能直接利用来研究集合函数，这样影响对随机现象的研究。解决这个问题的方法，主要是设法在集合函数与数学分析中所研究的点函数间建立某种联系，从而能用数学分析去研究随机现象。 X(e)就是一个函数，它把样本点映射到实数轴上，随机变量就是从原样本空间Ω到新样本空间的一种映射，我们通常把这样一种对应关系称之为在概率空间上的一个随机变量。下面我们给出随机变量的数学定义。 在实际应用中常常会遇到同时需要几个随机变量，才能较好的描述某一试验或现象。如炮弹命中位置是两个随机变量确定的，飞机的空中位置由三个随机变量来确定，因此我们需要引入n维随机变量。 由于二维和n维没有什么原则区别，故为简单及容易理解期间，我们着重讨论二维随机变量的情况 联合密度决定了边际密度，边际密度能够决定联合密度呢？一般来讲，是不能的。 但是当X和Y相互独立，边际密度就能决定联合密度。 设随机变量X，令A等效于事件[X≦x]，在给定事件B条件下，P(Xx|B)称为随机变量X的条件分布函数。 在实际应用中常遇到这样一种情况的分布函数，即某个随机变量X是在第二个随机变量Y取某确定数值时的条件概率，对应的条件分布函数可以表示如下， 确定随机变量的分布函数相当麻烦，在实际问题中，我们有时只需要知道随机变量的某些特征值就够了。 ∫应理解为n维向量的n