随机过程一概率预备知识.pptVIP

序言:天道酬勤—求真务实,追求卓越 接天莲叶无穷碧，亭亭玉立荷花红。 扎实自信、开拓自尊，独立自主、自强不息。 人生大计，学业为本；国家兴旺，学子有责。 基础不固，木凋树枯；基础坚牢，大厦凌霄。 博览群书，寻真取识，学以致用，唯求创新。 形而上（深入思考）谓之道，形而下（知识基础） 谓之器（周易·系辞）。 提其要，钩其玄（韩愈《劝学解》）；悠然心会， 妙处难与君说（张孝祥，南宋）。 昨夜西风凋碧树,独上高楼,望尽天涯路（晏殊）。 众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处 (辛弃疾)。 衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴（柳咏）。 课程内容 硕士研究生课程应用数学基础主要讨论随机过程,包括: 随机过程的基本概念; 泊松过程; 马尔可夫过程; 平稳随机过程. 为了教学的方便, 对概率论的一些有关知识,也作了必 要的回顾. 在马尔可夫过程中介绍:马尔可夫链和连续时间的马尔 可夫链;在平稳随机过程中介绍:平稳随机过程,平稳过 程的谱分析以及时间序列分析. 主参考书目: 陆大铨编著,随机过程及其应用,清华版, 1986; S.M.Ross著, 何声武等译,随机过程, 统计版, 1997; 刘次华编著, 随机过程, 华中理工版, 2001. 第一章 预备知识 1.1 概率空间 随机试验 试验的结果事先不能准确预言,但具有特性 (1) 可以在相同的条件下重复进行; (2) 每次试验的结果不止一个,但预先知道试验的所有 可能的结果; (3) 每次试验前不能确定哪个结果会出现. 样本空间 由随机试验所有可能结果组成的集合(Ω). 样本点或基本事件 Ω中的元素e. 事件 Ω的子集A. Ω称必然事件;空集φ称不可能事件. σ-代数F, F上的概率,独立事件族G : 定义1.1 设Ω是一个集合,F 是Ω的某些子集组成的集合 族. 如果 概率空间 (1) Ω∈F ; (2) 若A∈F ,则A=Ω\A∈F ; (3) 若An∈F ,n=1,2,…,则 ∈F , 那么F 称为σ-代数(Borel域).(Ω,F )称为可测空间,F中 的元素称为事件. 由定义1.1且有: (4) φ∈F ; (5) 若A,B∈F ,则A\B∈F ; (6) 若Ai∈F ,i=1,2,…,则 , , ∈F . 定义1.2 设(Ω,F )是可测空间,P(·)是定义在F 上的实值 函数.若 (1) 任意A∈F ,0≤P(A)≤1; (2) P(Ω)=1; 概率空间 (3) 对两两互不相容事件A1,A2,…(当i≠j时,A1∩A2= φ),有P( )= P(Ai), 则称P是(Ω,F )上的概率. (Ω,F ,P)称为概率空间,P(A) 为事件A的概率. 由定义1.2且有: (4) P(φ)=0; (5) 若A,B∈F ,A B,则P(B\A)=P(B)-P(A),即概率具 有单调性; (6) 设An∈F ,n=1,2,…则 P(An)= 定义1.3 设(Ω,F ,P)是概率空间,G F,若对于任意的A1, A2,…,An∈G,n=1,2,…有P( )= ,则称G为 独立事件族. 随机变量及其分布 1.2 随机变量及其分布 随机变量是概率论的主要研究对象,随机变量的统计规 律用分布函数来描述. 定义1.4 设(Ω,F ,P)是概率空间. X=X(e)是定义在Ω上 的实函数, 若对任意实数x,{e:X(e)≤x}∈F,则称X(e) 是F上的随机变量,简记为X. 称 F(x)=P(e:X(e)≤x), -∞＜x＜+∞ 为随机变量X的分布函数. 分布函数F(x)具有性质: (1) F(x)是非降函数,即当x1＜x2时,F(x1)≤F(x2); (2) F(-∞)= F(x)=0, F(+∞)= F(x)=1; (3) F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). 随机变量的分布函数 重要事实:定义在R=(-∞,+∞)上的实值函数F(x),如果 具有上述三个性质, 则必存在一个概率空间(Ω,F ,P)及 该概率空间上的随机变量X, X的分布函数是F(x). 常用的随机变量有两种类型: 离散型随机变量,连续型 随机变量. 离散型随机变量X的概率分布用分布列描述: pk=P(X=xk), k=1,2,… ; 其分布函数F(x)= pk . 连续