雅克比积分坐标变换.pptVIP

一般坐标变换 定理 1. 设 为有界闭域，函数 f (x, y, z) 在 变换 而在 上连续， 具有连续偏导数，且将 一一地映成 雅可比行列式 上 则 柱坐标 O x y z 空间除 x 轴上的点外，每点都有 唯一 的柱坐标。 有时也可规定 从 x 轴正向到 OM 0 的角， 称 为点 M 的柱坐标。 将空间点的 x , y 坐标用极坐标代替，z 坐标不变。 柱面坐标变换 考虑变换 成立 的柱坐标表示。 其中 为 对应的雅可比行列式 例 1. 计算 其中 由 围成。 O y z x 解： 则在柱坐标变换 下， D 表示为 ： 在 x y 面的投影区域 为 D， 设 因此 O x y z 例 2. 求抛物面 被平面 截得的有界体的体积。 解： 有界体为 其体积为 V， 在 x y 面的投影区域 为 D， 则在柱坐标变换 下， D 表示为 ： 因此 x y z o 练习. 计算球面 与 围成的区域的体积 V。 2 球坐标 O x y z 空间除 x 轴上的点外，每点都有 唯一 的球坐标。 有时也可规定 z 轴正 向与 OM 的夹角， 从 x 轴正向到 OM 0 的角， 称 为点 M 的球坐标。 O y z x 锥面。 半平面。 球面。 特殊曲面 球坐标变换 考虑变换 成立 对应的雅可比行列式 的球坐标表示。 其中 为 例 3. 计算 其中 由 球面 围成。 解： 作球坐标变换 则锥面为 球面为 表示为 及锥面 y z o x x y z o 解： 作球坐标变换 则锥面为 球面为 表示为 例 4. 计算 其中 是由 x y z o 球面 围成的区域。 解： 作球坐标变换 则球面方程为 表示为 1 解： 作球坐标变换 则球面方程为 表示为 x y z o 1 x y z o 练习. 计算球面 与 围成的区域 W 的体积 V。（用球坐标） 2 例 5. 计算曲面 的体积 V. 围成的区域 解： 作变换 则在 u v w 坐标系内，所给曲面变为 变换对应的雅可比行列式为 因此 v u w 解： 作变换 则在 u v w 坐标系内，所给曲面变为 变换对应的雅可比行列式为 因此 v u w